حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{4} (3 \sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{4} 3 \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int_{1}^{4} \sqrt{x} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int_{1}^{4} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 6

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - \frac{2}{x} d x$

خطوة 7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - \int_{1}^{4} \frac{2}{x} d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - (2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x)$

خطوة 9

اضرب $2$ في $- 1$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{x} d x$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$3 (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{1}^{4}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

احسِب قيمة $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ في $4$ وفي $1$ .

$3 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| x |)]_{1}^{4})$

خطوة 11.1.2

احسِب قيمة $\ln (| x |)$ في $4$ وفي $1$ .

$3 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.1

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$3 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.4

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$3 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.5

اضرب $2$ في $8$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1^{\frac{3}{2}}}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 1}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.7

اضرب $2$ في $1$ .

$3 (\frac{16}{3} - \frac{2}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 \frac{16 - 2}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.9

اطرح $2$ من $16$ .

$3 (\frac{14}{3}) - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.10

اجمع $3$ و $\frac{14}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.11

اضرب $3$ في $14$ .

$\frac{42}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.12

احذِف العامل المشترك لـ $42$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.12.1

أخرِج العامل $3$ من $42$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.12.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.3.12.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 \cdot 14}{3 (1)} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.12.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 \cdot 14}{3 \cdot 1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.12.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{14}{1} - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.1.3.12.2.4

اقسِم $14$ على $1$ .

$14 - 2 (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |))$

خطوة 11.2

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$14 - 2 \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |})$

خطوة 11.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $4$ تساوي $4$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{| 1 |})$

خطوة 11.3.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$14 - 2 \ln (\frac{4}{1})$

خطوة 11.3.3

اقسِم $4$ على $1$ .

$14 - 2 \ln (4)$

خطوة 12

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أعِد كتابة $\ln (4)$ بالصيغة $\ln (2^{2})$ .

$14 - 2 \ln (2^{2})$

خطوة 12.2

وسّع $\ln (2^{2})$ بنقل $2$ خارج اللوغاريتم.

$14 - 2 (2 \ln (2))$

خطوة 12.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$14 - 4 \ln (2)$

خطوة 13

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$14 - 4 \ln (2)$

الصيغة العشرية:

$11.22741127 \dots$

خطوة 14