حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \tan (5 x)$ , $y = 2 \sin (5 x)$ , $- \frac{π}{15} \leq x \leq \frac{π}{15}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ على $\tan (5 x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اقسِم كل حد في $\tan (5 x) = 2 \sin (5 x)$ على $\tan (5 x)$ .

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

خطوة 1.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\tan (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\tan (5 x)}{\tan (5 x)} = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

خطوة 1.2.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{2 \sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

خطوة 1.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.1

افصِل الكسور.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\tan (5 x)}$

خطوة 1.2.1.3.2

أعِد كتابة $\tan (5 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$1 = \frac{2}{1} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

خطوة 1.2.1.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$1 = \frac{2}{1} (\sin (5 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

خطوة 1.2.1.3.4

اكتب $\sin (5 x)$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

خطوة 1.2.1.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{2}{1} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

خطوة 1.2.1.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{2}{1} \cos (5 x)$

خطوة 1.2.1.3.6

اقسِم $2$ على $1$ .

$1 = 2 \cos (5 x)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 \cos (5 x) = 1$ .

$2 \cos (5 x) = 1$

خطوة 1.2.3

اقسِم كل حد في $2 \cos (5 x) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (5 x) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (5 x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

اقسِم $\cos (5 x)$ على $1$ .

$\cos (5 x) = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.4

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$5 x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 1.2.5

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$5 x = \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.6

اقسِم كل حد في $5 x = \frac{π}{3}$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

اقسِم كل حد في $5 x = \frac{π}{3}$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

خطوة 1.2.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

خطوة 1.2.6.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{5}$

خطوة 1.2.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 1.2.6.3.2

اضرب $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.3.2.1

اضرب $\frac{π}{3}$ في $\frac{1}{5}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 5}$

خطوة 1.2.6.3.2.2

اضرب $3$ في $5$ .

$x = \frac{π}{15}$

خطوة 1.2.7

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$5 x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.8

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$5 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.8.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$5 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.8.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 1.2.8.1.4

اضرب $3$ في $2$ .

$5 x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 1.2.8.1.5

اطرح $π$ من $6 π$ .

$5 x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 1.2.8.2

اقسِم كل حد في $5 x = \frac{5 π}{3}$ على $5$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.2.1

اقسِم كل حد في $5 x = \frac{5 π}{3}$ على $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

خطوة 1.2.8.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 x}{5} = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

خطوة 1.2.8.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{5}$

خطوة 1.2.8.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 1.2.8.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.8.2.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 π$ .

$x = \frac{5 (π)}{3} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 1.2.8.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{5}$

خطوة 1.2.8.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.9

أوجِد فترة $\cos (5 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.9.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.9.2

استبدِل $b$ بـ $5$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 5 |}$

خطوة 1.2.9.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $5$ تساوي $5$ .

$\frac{2 π}{5}$

خطوة 1.2.10

فترة دالة $\cos (5 x)$ هي $\frac{2 π}{5}$ ، لذا تتكرر القيم كل $\frac{2 π}{5}$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

خطوة 1.3.2

عوّض بـ $\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$ عن $x$ في $y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ وأوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$

خطوة 1.3.2.2

بسّط $2 \sin (5 (\frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{15} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 (3)} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{5 \cdot 3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.3.2.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$ .

$y = 2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$

خطوة 1.4.2

بسّط $2 \sin (5 (\frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 2 \sin (5 \frac{π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.4.2.2

اجمع $5$ و $\frac{π}{3}$ .

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 5 \frac{2 π n}{5})$

خطوة 1.4.2.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.5

اسرِد جميع الحلول.

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{15} + \frac{2 π n}{5}$

$y = 2 \sin (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{5}$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- \frac{π}{15}$ و $\frac{π}{15}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - (\tan (5 x)) d x$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\tan (5 x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)} d x$

خطوة 3.3

حوّل من $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ إلى $\tan (5 x)$ .

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} 2 \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.5

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \sin (5 x) d x + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.6

لنفترض أن $u_{1} = 5 x$ . إذن $d u_{1} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

افترض أن $u_{1} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.6.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 3.6.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 3.6.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{1} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

خطوة 3.6.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.3.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{15}$ إلى بسط الكسر.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

خطوة 3.6.3.1.2

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

خطوة 3.6.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

خطوة 3.6.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

خطوة 3.6.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

خطوة 3.6.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{1} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

خطوة 3.6.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.5.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

خطوة 3.6.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

خطوة 3.6.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 3.6.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 3.6.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) \frac{1}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.7

اجمع $\sin (u_{1})$ و $\frac{1}{5}$ .

$2 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\sin (u_{1})}{5} d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.8

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1}) + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.9

اجمع $\frac{1}{5}$ و $2$ .

$\frac{2}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sin (u_{1}) d u_{1} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.10

تكامل $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $- \cos (u_{1})$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} + \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} - \tan (5 x) d x$

خطوة 3.11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{15}}^{\frac{π}{15}} \tan (5 x) d x$

خطوة 3.12

لنفترض أن $u_{2} = 5 x$ . إذن $d u_{2} = 5 d x$ ، لذا $\frac{1}{5} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1

افترض أن $u_{2} = 5 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.1.1

أوجِد مشتقة $5 x$ .

$\frac{d}{d x} [5 x]$

خطوة 3.12.1.2

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.12.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

خطوة 3.12.1.4

اضرب $5$ في $1$ .

$5$

خطوة 3.12.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = 5 x$ .

$u_{lower} = 5 (- \frac{π}{15})$

خطوة 3.12.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.3.1.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{π}{15}$ إلى بسط الكسر.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{15}$

خطوة 3.12.3.1.2

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 (3)}$

خطوة 3.12.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$u_{lower} = 5 \frac{- π}{5 \cdot 3}$

خطوة 3.12.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$u_{lower} = \frac{- π}{3}$

خطوة 3.12.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

خطوة 3.12.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = 5 x$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{15}$

خطوة 3.12.5

ألغِ العامل المشترك لـ $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.12.5.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 (3)}$

خطوة 3.12.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = 5 \frac{π}{5 \cdot 3}$

خطوة 3.12.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 3.12.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = - \frac{π}{3}$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

خطوة 3.12.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) \frac{1}{5} d u_{2}$

خطوة 3.13

اجمع $\tan (u_{2})$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan (u_{2})}{5} d u_{2}$

خطوة 3.14

بما أن $\frac{1}{5}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{5}$ خارج التكامل.

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - (\frac{1}{5} \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \tan (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 3.15

تكامل $\tan (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ .

$\frac{2}{5} - \cos (u_{1})]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

خطوة 3.16

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.16.1

احسِب قيمة $- \cos (u_{1})$ في $\frac{π}{3}$ وفي $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (| \sec (u_{2}) |)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}$

خطوة 3.16.2

احسِب قيمة $\ln (| \sec (u_{2}) |)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $- \frac{π}{3}$ .

$\frac{2}{5} ((- \cos (\frac{π}{3})) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} ((\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |)) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

خطوة 3.16.3

احذِف الأقواس.

$\frac{2}{5} (- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

خطوة 3.17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.17.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| \sec (\frac{π}{3}) |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

خطوة 3.17.2

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{3})$ هي $2$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} (\ln (| 2 |) - \ln (| \sec (- \frac{π}{3}) |))$

خطوة 3.17.3

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{1}{5} \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$

خطوة 3.17.4

اجمع $\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})$ و $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.5

لكتابة $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot \frac{5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.6

اجمع $\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3}))$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5}{5} - \frac{\ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) \cdot 5 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.8

اجمع $5$ و $\frac{2}{5}$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.9

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{\frac{10}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.10

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.17.10.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.17.10.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 (1)} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{2}{1} (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.17.10.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (- \frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{5 π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \cos (\frac{π}{3})) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{3})$ هي $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 (- \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 \frac{- 1 + 1}{2} - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (\frac{0}{2}) - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{0 - \ln (\frac{| 2 |}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.5

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (- \frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.6

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.6.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{5 π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.6.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| \sec (\frac{π}{3}) |})}{5}$

خطوة 3.18.6.3

القيمة الدقيقة لـ $\sec (\frac{π}{3})$ هي $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{| 2 |})}{5}$

خطوة 3.18.6.4

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{0 - \ln (\frac{2}{2})}{5}$

خطوة 3.18.7

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{0 - \ln (1)}{5}$

خطوة 3.18.8

اللوغاريتم الطبيعي لـ $1$ يساوي $0$ .

$\frac{0 - 0}{5}$

خطوة 3.18.9

اضرب $- 1$ في $0$ .

$\frac{0 + 0}{5}$

خطوة 3.18.10

اختزِل العبارة $\frac{0 + 0}{5}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.18.10.1

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$\frac{5 (0) + 0}{5}$

خطوة 3.18.10.2

أخرِج العامل $5$ من $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 + 5 \cdot 0}{5}$

خطوة 3.18.10.3

أخرِج العامل $5$ من $5 \cdot 0 + 5 \cdot 0$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5}$

خطوة 3.18.10.4

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 (1)}$

خطوة 3.18.10.5

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{5 \cdot (0 + 0)}{5 \cdot 1}$

خطوة 3.18.10.6

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{0 + 0}{1}$

خطوة 3.18.11

اقسِم $0 + 0$ على $1$ .

$0 + 0$

خطوة 3.18.12

أضف $0$ و $0$ .

$0$

خطوة 4