حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (t)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (t)$ .

$F (t) = \int f (t) d t$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (t) = \int \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}} d t$

خطوة 3

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{t}} d t$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} d t$

خطوة 5

انقُل $t^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) {(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d t$

خطوة 6

اضرب الأُسس في ${(t^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d t$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{\frac{- 1}{2}} d t$

خطوة 6.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\int (2 t - 4 + 4 t^{\frac{1}{2}}) t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (2 t - 4) t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 2 t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.3

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 (t^{1} t^{- \frac{1}{2}}) - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 t^{1 - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.5

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int 2 t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int 2 t^{\frac{2 - 1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.7

اطرح $1$ من $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.8

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} d t$

خطوة 7.9

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{1 - 1}{2}} d t$

خطوة 7.10

اطرح $1$ من $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{2}} d t$

خطوة 7.11

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 (0)}{2}} d t$

خطوة 7.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.11.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

خطوة 7.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}} d t$

خطوة 7.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{\frac{0}{1}} d t$

خطوة 7.11.2.4

اقسِم $0$ على $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 t^{0} d t$

خطوة 7.12

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 \cdot 1 d t$

خطوة 7.13

اضرب $4$ في $1$ .

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} - 4 t^{- \frac{1}{2}} + 4 d t$

خطوة 8

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

خطوة 9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int t^{\frac{1}{2}} d t + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) + \int - 4 t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

خطوة 11

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 \int t^{- \frac{1}{2}} d t + \int 4 d t$

خطوة 12

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $t^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + \int 4 d t$

خطوة 13

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

خطوة 14

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $t^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 t^{\frac{3}{2}}}{3} + C) - 4 (2 t^{\frac{1}{2}} + C) + 4 t + C$

خطوة 14.2

بسّط.

$\frac{4 t^{\frac{3}{2}}}{3} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

خطوة 14.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$

خطوة 15

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (t) = \frac{2 t - 4 + 4 \sqrt{t}}{\sqrt{t}}$ .

$F (t) =$ $\frac{4}{3} t^{\frac{3}{2}} - 8 t^{\frac{1}{2}} + 4 t + C$