حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{\sin (\sqrt{3 x})}{\sqrt{3 x}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{1} = 3 x$ . إذن $d u_{1} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{1} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 1.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 1.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1}$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 3} d u_{1}$

خطوة 2.2

انقُل $3$ إلى يسار $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{3 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

خطوة 4.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u_{1}}$ في صورة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{\sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

خطوة 4.3

انقُل ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

خطوة 4.4

اضرب الأُسس في ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

خطوة 4.4.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

خطوة 4.4.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{3} \int \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . إذن $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ ، لذا $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 5.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

خطوة 5.1.3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 5.1.4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 5.1.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

خطوة 5.1.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

خطوة 5.1.6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

خطوة 5.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

خطوة 5.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.8.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.1.8.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \int 2 \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} (2 \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

خطوة 7

اجمع $2$ و $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 8

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط.

$\frac{2}{3} (- \cos (u_{2})) + C$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{2}{3}$ و $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{2 \cos (u_{2})}{3} + C$

خطوة 10

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

خطوة 10.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $3 x$ .

$- \frac{2 \cos ({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

طبّق قاعدة الضرب على $3 x$ .

$- \frac{2 \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

خطوة 11.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- \frac{2}{3} \cos (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}) + C$