حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{4} + 4 x^{3} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + 4 x^{3} - x}{x^{3}} d x$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $x$ من $4 x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) - x}{x^{3}} d x$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $x$ من $- x$ .

$\int \frac{x (2 x^{3}) + x (4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

خطوة 4.1.4

أخرِج العامل $x$ من $x (2 x^{3}) + x (4 x^{2})$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1}{x^{3}} d x$

خطوة 4.1.5

أخرِج العامل $x$ من $x (2 x^{3} + 4 x^{2}) + x \cdot - 1$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x^{3}} d x$

خطوة 4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{3}$ .

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{x (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1)}{x \cdot x^{2}} d x$

خطوة 4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

خطوة 6

وسّع $(2 x^{3} + 4 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int (2 x^{3} + 4 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\int 2 x^{3} x^{- 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 x^{3 - 2} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.4

اطرح $2$ من $3$ .

$\int 2 x^{1} + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.5

بسّط.

$\int 2 x + 4 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 x + 4 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.7

اطرح $2$ من $2$ .

$\int 2 x + 4 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.8

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\int 2 x + 4 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.9

اضرب $4$ في $1$ .

$\int 2 x + 4 - 1 x^{- 2} d x$

خطوة 6.10

انقُل $4$ .

$\int 2 x - 1 x^{- 2} + 4 d x$

خطوة 7

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 2 x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

خطوة 8

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 4 d x$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x^{- 2} d x + \int 4 d x$

خطوة 11

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + \int 4 d x$

خطوة 12

طبّق قاعدة الثابت.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - (- x^{- 1} + C) + 4 x + C$

خطوة 13.2

بسّط.

$x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$

خطوة 14

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{2 x^{4} + 4 x^{3} - x}{x^{3}}$ .

$F (x) =$ $x^{2} + \frac{1}{x} + 4 x + C$