حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln (e^{x} + x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{x} + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} + x$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} + x$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} \frac{d}{d x} [e^{x} + x]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{e^{x} + x} (e^{x} + 1)$ .

$(e^{x} + 1) \frac{1}{e^{x} + x}$

خطوة 5.2

اضرب $e^{x} + 1$ في $\frac{1}{e^{x} + x}$ .

$\frac{e^{x} + 1}{e^{x} + x}$