حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$e^{y} = \frac{x^{2}}{y}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (e^{y}) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{y})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$e^{y} y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

$\frac{y \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{y (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $y$ .

$\frac{2 \cdot y x - x^{2} \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}}$

خطوة 3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\frac{2 y x - x^{2} y'}{y^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 x y - x^{2} y'}{y^{2}}$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $x$ من $2 x y - x^{2} y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $x$ من $2 x y$ .

$\frac{x (2 y) - x^{2} y'}{y^{2}}$

خطوة 3.4.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{2} y'$ .

$\frac{x (2 y) + x (- x y')}{y^{2}}$

خطوة 3.4.2.3

أخرِج العامل $x$ من $x (2 y) + x (- x y')$ .

$\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$e^{y} y' = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اضرب كلا الطرفين في $y^{2}$ .

$e^{y} y' y^{2} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $e^{y} y' y^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

بسّط $\frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' y^{2} e^{y} = \frac{x (2 y - x y')}{y^{2}} y^{2}$

خطوة 5.2.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y - x y')$

خطوة 5.2.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y' y^{2} e^{y} = x (2 y) + x (- x y')$

خطوة 5.2.2.1.3

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.3.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y + x (- x y')$

خطوة 5.2.2.1.3.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x (x y')$

خطوة 5.2.2.1.4

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.4.1

انقُل $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - (x \cdot x) y'$

خطوة 5.2.2.1.4.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - x^{2} y'$

خطوة 5.2.2.1.5

انقُل $x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = 2 x y - y' x^{2}$

خطوة 5.2.2.1.6

أعِد ترتيب $2 x y$ و $- y' x^{2}$ .

$y' y^{2} e^{y} = - y' x^{2} + 2 x y$

خطوة 5.3

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أضف $y' x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$y' y^{2} e^{y} + y' x^{2} = 2 x y$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2} e^{y} + y' x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' y^{2} e^{y}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

خطوة 5.3.2.2

أخرِج العامل $y'$ من $y' x^{2}$ .

$y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2}) = 2 x y$

خطوة 5.3.2.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (y^{2} e^{y}) + y' (x^{2})$ .

$y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$

خطوة 5.3.3

اقسِم كل حد في $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ على $y^{2} e^{y} + x^{2}$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اقسِم كل حد في $y' (y^{2} e^{y} + x^{2}) = 2 x y$ على $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

خطوة 5.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y^{2} e^{y} + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y^{2} e^{y} + x^{2})}{y^{2} e^{y} + x^{2}} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

خطوة 5.3.3.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y}{y^{2} e^{y} + x^{2}}$