حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{4} (\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 3

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $4$ خارج التكامل.

$4 \int_{1}^{4} \frac{1}{x^{2}} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} {(x^{2})}^{- 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 4.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{2 \cdot - 1} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 4.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$4 \int_{1}^{4} x^{- 2} d x + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} 2 x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 \int_{1}^{4} x d x + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 8

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} - 3 x^{2} d x$

خطوة 9

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 3$ خارج التكامل.

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 \int_{1}^{4} x^{2} d x$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4})$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1}]_{1}^{4}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

خطوة 11.2

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

احسِب قيمة $- x^{- 1}$ في $4$ وفي $1$ .

$4 ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

خطوة 11.2.2

احسِب قيمة $\frac{x^{2}}{2}$ في $4$ وفي $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{4})$

خطوة 11.2.3

احسِب قيمة $\frac{x^{3}}{3}$ في $4$ وفي $1$ .

$4 (- 4^{- 1} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4} + 1^{- 1}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$4 (- \frac{1}{4} + 1) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$4 (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{- 1 + 4}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.5

أضف $- 1$ و $4$ .

$4 (\frac{3}{4}) + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.6

اجمع $4$ و $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.7

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.8

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.8.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.8.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.8.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 (1)} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.8.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.8.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3}{1} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.8.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$3 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.9

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$3 + 2 (\frac{16}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.10

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.10.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.10.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.10.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.10.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.10.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 + 2 (\frac{8}{1} - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.10.2.4

اقسِم $8$ على $1$ .

$3 + 2 (8 - \frac{1^{2}}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.11

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$3 + 2 (8 - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.12

لكتابة $8$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (8 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.13

اجمع $8$ و $\frac{2}{2}$ .

$3 + 2 (\frac{8 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$3 + 2 \frac{8 \cdot 2 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.15

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.15.1

اضرب $8$ في $2$ .

$3 + 2 \frac{16 - 1}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.15.2

اطرح $1$ من $16$ .

$3 + 2 (\frac{15}{2}) - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.16

اجمع $2$ و $\frac{15}{2}$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.17

اضرب $2$ في $15$ .

$3 + \frac{30}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.18

احذِف العامل المشترك لـ $30$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.18.1

أخرِج العامل $2$ من $30$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.18.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.18.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 (1)} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.18.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$3 + \frac{2 \cdot 15}{2 \cdot 1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.18.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$3 + \frac{15}{1} - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.18.2.4

اقسِم $15$ على $1$ .

$3 + 15 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.19

أضف $3$ و $15$ .

$18 - 3 ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.20

ارفع $4$ إلى القوة $3$ .

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1^{3}}{3})$

خطوة 11.2.4.21

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$18 - 3 (\frac{64}{3} - \frac{1}{3})$

خطوة 11.2.4.22

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$18 - 3 \frac{64 - 1}{3}$

خطوة 11.2.4.23

اطرح $1$ من $64$ .

$18 - 3 (\frac{63}{3})$

خطوة 11.2.4.24

احذِف العامل المشترك لـ $63$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.24.1

أخرِج العامل $3$ من $63$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3}$

خطوة 11.2.4.24.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.24.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 (1)}$

خطوة 11.2.4.24.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$18 - 3 \frac{3 \cdot 21}{3 \cdot 1}$

خطوة 11.2.4.24.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$18 - 3 (\frac{21}{1})$

خطوة 11.2.4.24.2.4

اقسِم $21$ على $1$ .

$18 - 3 \cdot 21$

خطوة 11.2.4.25

اضرب $- 3$ في $21$ .

$18 - 63$

خطوة 11.2.4.26

اطرح $63$ من $18$ .

$- 45$

خطوة 12