حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{1}{2} \tan (2 x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \tan (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\tan (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\sec^{2} (u)$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اجمع $\sec^{2} (2 x)$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{2} (2 x)}{2} (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

اجمع $2$ و $\frac{\sec^{2} (2 x)}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sec^{2} (2 x)}{2} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.3.2.2

اقسِم $\sec^{2} (2 x)$ على $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 1.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 1$

خطوة 1.3.5

اضرب $\sec^{2} (2 x)$ في $1$ .

$\sec^{2} (2 x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sec (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 u_{1} \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sec (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) \frac{d}{d x} (\sec (2 x))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sec (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\frac{d}{d u (2)} (\sec (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\sec (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $2 x$ .

$f'' (x) = 2 \sec (2 x) (\sec (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.3

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.4

ارفع $\sec (2 x)$ إلى القوة $1$ .

$f'' (x) = 2 (\sec (2 x) \sec (2 x)) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f'' (x) = 2 {\sec (2 x)}^{1 + 1} (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.6

أضف $1$ و $1$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) (\tan (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

خطوة 2.7

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

خطوة 2.8

اضرب $2$ في $2$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x) \cdot 1$

خطوة 2.10

اضرب $4$ في $1$ .

$f'' (x) = 4 \sec^{2} (2 x) \tan (2 x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\sec^{2} (2 x) = 0$

خطوة 4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0}$

خطوة 5

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$\sec (2 x) = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 5.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\sec (2 x) = \pm 0$

خطوة 5.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$\sec (2 x) = 0$

خطوة 6

مدى القاطع هو $y \leq - 1$ و $y \geq 1$ . وبما أن $0$ لا تقع ضمن هذا المدى، إذن لا يوجد حل.

لا يوجد حل

خطوة 7

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x =$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$4 \sec^{2} (2) \tan (2)$

خطوة 8

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $\sec (2)$ .

$4 \cdot {1.00060954}^{2} \tan (2)$

خطوة 8.2

ارفع $1.00060954$ إلى القوة $2$ .

$4 \cdot 1.00121946 \tan (2)$

خطوة 8.3

اضرب $4$ في $1.00121946$ .

$4.00487784 \tan (2)$

خطوة 8.4

احسِب قيمة $\tan (2)$ .

$4.00487784 \cdot 0.03492076$

خطوة 8.5

اضرب $4.00487784$ في $0.03492076$ .

$0.13985341$

خطوة 9

$x =$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x =$ هي حد أدنى محلي

خطوة 10

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \frac{1}{2} \cdot \tan (2 x)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m i n i m u m))$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 11