حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sin (x) - \cos (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) - \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.3.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\cos (x) - - \sin (x)$

خطوة 1.3.3

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\cos (x) + 1 \sin (x)$

خطوة 1.3.4

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$\cos (x) + \sin (x)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\cos (x) + \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

خطوة 2.2

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

خطوة 2.3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - \sin (x) + \cos (x)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$\cos (x) + \sin (x) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في المعادلة على $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 6

حوّل من $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ إلى $\tan (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

خطوة 7

افصِل الكسور.

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

خطوة 8

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

خطوة 9

اقسِم $0$ على $1$ .

$1 + \tan (x) = 0 \sec (x)$

خطوة 10

اضرب $0$ في $\sec (x)$ .

$1 + \tan (x) = 0$

خطوة 11

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\tan (x) = - 1$

خطوة 12

خُذ المماس العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل المماس.

$x = \arctan (- 1)$

خطوة 13

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

القيمة الدقيقة لـ $\arctan (- 1)$ هي $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

خطوة 14

دالة المماس سالبة في الربعين الثاني والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$x = - \frac{π}{4} - π$

خطوة 15

بسّط العبارة لإيجاد الحل الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $2 π$ إلى $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

خطوة 15.2

الزاوية الناتجة لـ $\frac{3 π}{4}$ موجبة ومشتركة النهاية مع $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

خطوة 16

حل المعادلة $x = - \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

خطوة 17

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = - \frac{π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \sin (- \frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 18

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$- \sin (\frac{7 π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 18.1.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- - \sin (\frac{π}{4}) + \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 18.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 18.1.4

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 18.1.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 18.1.5

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{7 π}{4})$

خطوة 18.1.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 18.1.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 18.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 18.2.2

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 18.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 18.2.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$\sqrt{2}$

خطوة 19

$x = - \frac{π}{4}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = - \frac{π}{4}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 20

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = - \frac{π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- \frac{π}{4}$ في العبارة.

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (- \frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 20.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.1.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \sin (\frac{7 π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 20.2.1.2

$f (- \frac{π}{4}) = - \sin (\frac{π}{4}) - \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 20.2.1.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (- \frac{π}{4})$

خطوة 20.2.1.4

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{7 π}{4})$

خطوة 20.2.1.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 20.2.1.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 20.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 20.2.2.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 20.2.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

خطوة 20.2.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.2.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

خطوة 20.2.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 20.2.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (- \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{2}}{1}$

خطوة 20.2.2.3.2.4

اقسِم $- \sqrt{2}$ على $1$ .

$f (- \frac{π}{4}) = - \sqrt{2}$

خطوة 20.2.3

الإجابة النهائية هي $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

خطوة 21

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{3 π}{4}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

خطوة 22

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$- \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

خطوة 22.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

خطوة 22.1.3

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 22.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- \sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.2.2

اطرح $\sqrt{2}$ من $- \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 22.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2}$

خطوة 22.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 22.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)}$

خطوة 22.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1}$

خطوة 22.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- \sqrt{2}}{1}$

خطوة 22.2.3.2.4

اقسِم $- \sqrt{2}$ على $1$ .

$- \sqrt{2}$

خطوة 23

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{3 π}{4}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 24

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

خطوة 24.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{3 π}{4})$

خطوة 24.2.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{3 π}{4})$

خطوة 24.2.1.3

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})$

خطوة 24.2.1.4

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{4})$ هي $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.1.5

اضرب $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1 (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 24.2.1.5.2

اضرب $\frac{\sqrt{2}}{2}$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.2.2

أضف $\sqrt{2}$ و $\sqrt{2}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.2.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 24.2.2.3.2

اقسِم $\sqrt{2}$ على $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = \sqrt{2}$

خطوة 24.2.3

الإجابة النهائية هي $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

خطوة 25

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = \sin (x) - \cos (x)$ .

$(- \frac{π}{4}, - \sqrt{2})$ هي نقاط دنيا محلية

$(\frac{3 π}{4}, \sqrt{2})$ هي نقطة قصوى محلية

خطوة 26