حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int 2 \sqrt{x} \sqrt{1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}} d x$

خطوة 1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.2

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{1}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{x}}$ في $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.2

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.3

ارفع $\sqrt{x}$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x^{1}})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.3.6.5

بسّط.

$\int 2 \sqrt{(1 + {(\frac{\sqrt{x}}{x})}^{2}) x} d x$

خطوة 1.4

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt{x}}{x}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{\sqrt{x}}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{x}}^{2}$ بالصيغة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.5.5

بسّط.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.6

احذِف العامل المشترك لـ $x$ و $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x^{1}}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.6.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{1}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x^{2}}) x} d x$

خطوة 1.6.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.3.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{2}$ .

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

خطوة 1.6.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{x \cdot 1}{x \cdot x}) x} d x$

خطوة 1.6.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int 2 \sqrt{(1 + \frac{1}{x}) x} d x$

خطوة 1.7

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\int 2 \sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{1}{x}) x} d x$

خطوة 1.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int 2 \sqrt{\frac{x + 1}{x} x} d x$

خطوة 1.9

اجمع $\frac{x + 1}{x}$ و $x$ .

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

خطوة 1.10

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.10.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int 2 \sqrt{\frac{(x + 1) x}{x}} d x$

خطوة 1.10.2

اقسِم $x + 1$ على $1$ .

$\int 2 \sqrt{x + 1} d x$

خطوة 2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$2 \int \sqrt{x + 1} d x$

خطوة 3

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 3.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 3.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 3.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$2 \int \sqrt{u} d u$

خطوة 4

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أعِد كتابة $2 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ بالصيغة $2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$2 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

اجمع $2$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{4}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + C$