حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{a + b x^{2}}{\sqrt{3 a x + b x^{3}}} d a$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 3 a x + b x^{3}$ . إذن $d u = 3 x d a$ ، لذا $\frac{1}{3 x} d u = d a$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 3 a x + b x^{3}$ . أوجِد $\frac{d u}{d a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x + b x^{3}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 a x + b x^{3}$ بالنسبة إلى $a$ هو $\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$ .

$\frac{d}{d a} [3 a x] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d a} [3 a x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $3 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، إذن مشتق $3 a x$ بالنسبة إلى $a$ يساوي $3 x \frac{d}{d a} [a]$ .

$3 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ هو $n a^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $1$ .

$3 x + \frac{d}{d a} [b x^{3}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $b x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، فإن مشتق $b x^{3}$ بالنسبة إلى $a$ هو $0$ .

$3 x + 0$

خطوة 1.1.4.2

أضف $3 x$ و $0$ .

$3 x$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $b x^{2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + b x^{2} \cdot \frac{3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.2

اجمع $b x^{2}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} - \frac{b x^{2}}{3} + \frac{b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + b x^{2} \cdot 3}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.4

انقُل $3$ إلى يسار $b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{- b x^{2} + 3 \cdot (b x^{2})}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.5

أضف $- b x^{2}$ و $3 b x^{2}$ .

$\int \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.6

اضرب $\frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}}$ في $\frac{3 x}{3 x}$ .

$\int \frac{3 x}{3 x} \cdot \frac{\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3}}{\sqrt{u}} \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.7

اجمع.

$\int \frac{3 x (\frac{u}{3 x} + \frac{2 b x^{2}}{3})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.8

طبّق خاصية التوزيع.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.9

ألغِ العامل المشترك لـ $3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{3 x \frac{u}{3 x} + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.9.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.10

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$\int \frac{u + 3 (x) \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.10.2

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{u + 3 x \frac{2 b x^{2}}{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.10.3

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{u + x (2 b x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.11

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u + 2 b (x^{1} x^{2})}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.12

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{u + 2 b x^{1 + 2}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.13

أضف $1$ و $2$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}} \cdot \frac{1}{3 x} d u$

خطوة 2.14

اضرب $\frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u}}$ في $\frac{1}{3 x}$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{3 x \sqrt{u} (3 x)} d u$

خطوة 2.15

اضرب $3$ في $3$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x \sqrt{u} x} d u$

خطوة 2.16

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x) \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.17

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 (x^{1} x^{1}) \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.18

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{1 + 1} \sqrt{u}} d u$

خطوة 2.19

أضف $1$ و $1$ .

$\int \frac{u + 2 b x^{3}}{9 x^{2} \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{9 x^{2}}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{9 x^{2}}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int \frac{u + 2 b x^{3}}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int (u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وسّع $(u + 2 b x^{3}) u^{- \frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u \cdot u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.2

ارفع $u$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1} u^{- \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{1 - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.4

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{2 - 1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.6

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int u^{\frac{1}{2}} + 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5.7

أعِد ترتيب $u^{\frac{1}{2}}$ و $2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} \int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} + u^{\frac{1}{2}} d u$

خطوة 6

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\frac{1}{9 x^{2}} (\int 2 b x^{3} u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 7

بما أن $2 b x^{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $2 b x^{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} \int u^{- \frac{1}{2}} d u + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \int u^{\frac{1}{2}} d u)$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (2 b x^{3} (2 u^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

خطوة 10.2

بسّط.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} u^{\frac{1}{2}} + \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 a x + b x^{3}$ .

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3}) + C$

خطوة 12

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{9 x^{2}} (4 b x^{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3} {(3 a x + b x^{3})}^{\frac{3}{2}}) + C$