حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{2} (3 x)} d x$

خطوة 3

حوّل من $\frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ إلى $\sec^{2} (3 x)$ .

$\int \sec^{2} (3 x) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = 3 x$ . إذن $d u = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 4.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 4.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \sec^{2} (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 5

اجمع $\sec^{2} (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u)}{3} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} \int \sec^{2} (u) d u$

خطوة 7

بما أن مشتق $\tan (u)$ هو $\sec^{2} (u)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (u)$ هو $\tan (u)$ .

$\frac{1}{3} (\tan (u) + C)$

خطوة 8

بسّط.

$\frac{1}{3} \tan (u) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $3 x$ .

$\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{\cos^{2} (3 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \tan (3 x) + C$