حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$

خطوة 2

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 3

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}} d x$

خطوة 4

لنفترض أن $x = \tan (t)$ ، حيث $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . إذن $d x = \sec^{2} (t) d t$ . لاحظ أنه نظرًا إلى أن $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ، إذن تُعد $\sec^{2} (t)$ موجبة.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.1.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\int \frac{1}{\tan (t) \sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} \sec^{2} (t) d t$

خطوة 5.2.1.2

أخرِج العامل $\sec (t)$ من $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 5.2.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

خطوة 5.2.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\tan (t)} \sec (t) d t$

خطوة 5.2.2

اجمع $\frac{1}{\tan (t)}$ و $\sec (t)$ .

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

خطوة 5.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد كتابة $\tan (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

خطوة 5.2.3.2

أعِد كتابة $\sec (t)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

خطوة 5.2.3.3

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

خطوة 5.2.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

خطوة 5.2.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

خطوة 5.2.3.5

حوّل من $\frac{1}{\sin (t)}$ إلى $\csc (t)$ .

$\int \csc (t) d t$

خطوة 6

تكامل $\csc (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

خطوة 7

استبدِل كافة حالات حدوث $t$ بـ $\arctan (x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$

خطوة 8

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{1}{x \sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$F (x) =$ $\ln (| \csc (\arctan (x)) - \cot (\arctan (x)) |) + C$