حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (\frac{x - 3}{x + 3}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int \frac{x - 3}{x + 3} d x$

خطوة 2

اقسِم $x - 3$ على $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$3$

$x$

$3$

خطوة 2.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$3$		$x$	-	$3$

خطوة 2.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$3$		$x$	-	$3$
			+	$x$	+	$3$

خطوة 2.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 3$

				$1$
$x$	+	$3$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$3$

خطوة 2.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$3$		$x$	-	$3$
			-	$x$	-	$3$
					-	$6$

خطوة 2.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{6}{x + 3} d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - \frac{6}{x + 3} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - \frac{6}{x + 3} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \frac{6}{x + 3} d x$

خطوة 6

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $6$ خارج التكامل.

$x + C - (6 \int \frac{1}{x + 3} d x)$

خطوة 7

اضرب $6$ في $- 1$ .

$x + C - 6 \int \frac{1}{x + 3} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x + 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 8.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 8.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 8.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 8.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - 6 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 9

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$x + C - 6 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 10

بسّط.

$x - 6 \ln (| u |) + C$

خطوة 11

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$x - 6 \ln (| x + 3 |) + C$