حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sin^{2} (x)}{1 + \cos (x)}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sin^{2} (x)$ و $g (x) = 1 + \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x)$ .

$\frac{(1 + \cos (x)) (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3

انقُل $2$ إلى يسار $1 + \cos (x)$ .

$\frac{2 \cdot (1 + \cos (x)) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) - \sin^{2} (x) (- \sin (x))}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + 1 \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7.2

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 8

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $\sin^{2} (x)$ في $\sin (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{2} (x) \sin^{1} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 8.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + {\sin (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 8.2

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{2 (1 + \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 \cos (x)) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 \cdot 1 \sin (x) + 2 \cos (x) \sin (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 1 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.4.2

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.4.3

أعِد ترتيب $2 \cos (x)$ و $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (2 x) + \sin (x) (2 \cos (x)) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.4.4

أعِد ترتيب $\sin (x)$ و $2$ .

$\frac{\sin (2 x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.4.5

طبّق متطابقة ضعف الزاوية للجيب.

$\frac{\sin (2 x) + \sin (2 x) \cos (x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{\cos (x) \sin (2 x) + \sin (2 x) + \sin^{3} (x)}{{(1 + \cos (x))}^{2}}$