حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = {(x - 2)}^{3}$ و $g (x) = {(x + 1)}^{4}$ .

${(x - 2)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{4}] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x + 1$ .

${(x - 2)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

${(x - 2)}^{3} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x + 1$ .

${(x - 2)}^{3} (4 {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $4$ إلى يسار ${(x - 2)}^{3}$ .

$4 \cdot {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 1] + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} (1 + 0) + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} \cdot 1 + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 3.5.2

اضرب $4$ في $1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{3}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = x - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x - 2$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + {(x + 1)}^{4} (3 {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $3$ إلى يسار ${(x + 1)}^{4}$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 \cdot {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]$

خطوة 5.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 5.4

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} (1 + 0)$

خطوة 5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2} \cdot 1$

خطوة 5.5.2

اضرب $3$ في $1$ .

$4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ من $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3} + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ من $4 {(x - 2)}^{3} {(x + 1)}^{3}$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + 3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$

خطوة 6.1.2

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ من $3 {(x + 1)}^{4} {(x - 2)}^{2}$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$

خطوة 6.1.3

أخرِج العامل ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3}$ من ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2)) + {(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (3 (x + 1))$ .

${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب عوامل ${(x - 2)}^{2} {(x + 1)}^{3} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$ .

${(x + 1)}^{3} {(x - 2)}^{2} (4 (x - 2) + 3 (x + 1))$