حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \cos (2 x) e^{\sin (2 x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u_{2} = \sin (2 x)$ . إذن $d u_{2} = 2 \cos (2 x) d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u_{2} = \cos (2 x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u_{2} = \sin (2 x)$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

خطوة 1.1.3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.3.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2$

خطوة 1.1.3.3.2

انقُل $2$ إلى يسار $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{lower} = \sin (2 \cdot 0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اضرب $2$ في $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

خطوة 1.3.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (0)$ هي $0$ .

$u_{lower} = 0$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u_{2} = \sin (2 x)$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{4})$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 (2)})$

خطوة 1.5.1.2

ألغِ العامل المشترك.

$u_{upper} = \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})$

خطوة 1.5.1.3

أعِد كتابة العبارة.

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 1.5.2

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{0}^{1} e^{u_{2}} \frac{1}{2} d u_{2}$

خطوة 2

اجمع $e^{u_{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{1} \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{u_{2}} d u_{2}$

خطوة 4

تكامل $e^{u_{2}}$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{u_{2}}]_{0}^{1}$

خطوة 5

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة $e^{u_{2}}$ في $1$ وفي $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{1}) - e^{0})$

خطوة 5.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط.

$\frac{1}{2} (e - e^{0})$

خطوة 5.2.2

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1 \cdot 1)$

خطوة 5.2.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{1}{2} (e - 1)$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{2} e + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e$ .

$\frac{e}{2} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{e}{2} + \frac{- 1}{2}$

خطوة 6.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{e}{2} - \frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.85914091 \dots$