حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{3}{\sin (x) + \cos (x)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}]$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ بالصيغة ${(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(\sin (x) + \cos (x))}^{- 1}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x) + \cos (x)$ .

$3 (- {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الجمع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 3 ({(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)])$

خطوة 3.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.4

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3.5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$- 3 {(\sin (x) + \cos (x))}^{- 2} (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 3.6

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 3.7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1.1

اجمع $- 3$ و $\frac{1}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{- 3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 3.7.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 3.7.2

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$- (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - (\cos (x) - \sin (x)) \frac{3}{{(\sin (x) + \cos (x))}^{2}}$