حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = 5 x \sqrt{x^{2} + 1}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 1}$ في صورة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 3

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 4

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$5 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 (x (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.3

انقُل ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.8.4

اجمع $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.12

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.12.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$5 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.12.2

اجمع $2$ و $\frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.12.3

اجمع $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$5 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.14

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$5 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.15

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.16

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.16.1

أضف $1$ و $1$ .

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.16.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.16.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.17

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

خطوة 4.18

اضرب ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 4.19

لكتابة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 4.20

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21

اضرب ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.21.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21.3

أضف $1$ و $1$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.21.4

اقسِم $2$ على $2$ .

$5 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 1)}^{1}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.22

بسّط ${(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$5 \frac{x^{2} + x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.23

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$5 \frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 4.24

اجمع $5$ و $\frac{2 x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 5

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 (2 x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$