حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} + \sin (y) = x^{3} y^{2}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (x^{4} + \sin (y)) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{2})$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{4} + \sin (y)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [\sin (y)]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\sin (y)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$4 x^{3} + \cos (u) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$4 x^{3} + \cos (y) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$4 x^{3} + \cos (y) y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.3

انقُل $2$ إلى يسار $x^{3}$ .

$2 \cdot x^{3} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$2 x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})$

خطوة 3.6

أعِد الترتيب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

انقُل $3$ إلى يسار $y^{2}$ .

$2 x^{3} y y' + 3 \cdot y^{2} x^{2}$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$4 x^{3} + \cos (y) y' = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $4 x^{3} + \cos (y) y'$ .

$4 x^{3} + y' \cos (y) = 2 x^{3} y y' + 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.2

اطرح $2 x^{3} y y'$ من كلا المتعادلين.

$4 x^{3} + y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2}$

خطوة 5.3

اطرح $4 x^{3}$ من كلا المتعادلين.

$y' \cos (y) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (y) - 2 x^{3} y y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $y' \cos (y)$ .

$y' (\cos (y)) - 2 x^{3} y y' = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 2 x^{3} y y'$ .

$y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (\cos (y)) + y' (- 2 x^{3} y)$ .

$y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ على $\cos (y) - 2 x^{3} y$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (\cos (y) - 2 x^{3} y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ على $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\cos (y) - 2 x^{3} y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (\cos (y) - 2 x^{3} y)}{\cos (y) - 2 x^{3} y} = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} + \frac{- 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2}}{\cos (y) - 2 x^{3} y} - \frac{4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 5.5.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y' = \frac{3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 5.5.3.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2} y^{2} - 4 x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.3.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) - 4 x^{3}}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 5.5.3.3.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 5.5.3.3.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} (3 y^{2}) + x^{2} (- 4 x)$ .

$y' = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 y^{2} - 4 x)}{\cos (y) - 2 x^{3} y}$