حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x - 5}{- 2 x + 2} d x$

خطوة 1

اقسِم $x - 5$ على $- 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$2$

$x$

$5$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $- 2 x$ .

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				+	$x$	-	$1$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				-	$\frac{1}{2}$
-	$2 x$	+	$2$		$x$	-	$5$
				-	$x$	+	$1$
						-	$4$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int - \frac{1}{2} - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{4}{- 2 x + 2} d x$

خطوة 3

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $- 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{- 2 x + 2} d x$

خطوة 3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2} d x$

خطوة 3.2.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x) + 2 (1)} d x$

خطوة 3.2.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (- x) + 2 (1)$ .

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

خطوة 3.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2 \cdot 2}{2 (- x + 1)} d x$

خطوة 3.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\int - \frac{1}{2} d x + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

خطوة 4

طبّق قاعدة الثابت.

$- \frac{1}{2} x + C + \int - \frac{2}{- x + 1} d x$

خطوة 5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} x + C - \int \frac{2}{- x + 1} d x$

خطوة 6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $2$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} x + C - (2 \int \frac{1}{- x + 1} d x)$

خطوة 7

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{1}{- x + 1} d x$

خطوة 8

لنفترض أن $u = - x + 1$ . إذن $d u = - d x$ ، لذا $- d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

افترض أن $u = - x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

أعِد الكتابة.

$\frac{- 1}{1}$

خطوة 8.1.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$- 1$

خطوة 8.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 \int - \frac{1}{u} d u$

خطوة 10

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \frac{1}{2} x + C - 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 11

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 12

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} x + C + 2 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 13

بسّط.

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| u |) + C$

خطوة 14

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x + 1$ .

$- \frac{1}{2} x + 2 \ln (| - x + 1 |) + C$