حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

خطوة 3

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int x^{2} \sin (x^{3} + 2003) d x$

خطوة 4

لنفترض أن $u = x^{3} + 2003$ . إذن $d u = 3 x^{2} d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

افترض أن $u = x^{3} + 2003$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أوجِد مشتقة $x^{3} + 2003$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} + 2003]$

خطوة 4.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 2003$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2003]$

خطوة 4.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2003]$

خطوة 4.1.4

بما أن $2003$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2003$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 x^{2} + 0$

خطوة 4.1.5

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$3 x^{2}$

خطوة 4.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$3 \int \sin (u) \frac{1}{3} d u$

خطوة 5

اجمع $\sin (u)$ و $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \frac{\sin (u)}{3} d u$

خطوة 6

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$3 (\frac{1}{3} \int \sin (u) d u)$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3}{3} \int \sin (u) d u$

خطوة 7.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 \int \sin (u) d u$

خطوة 7.3

اضرب $\int \sin (u) d u$ في $1$ .

$\int \sin (u) d u$

خطوة 8

تكامل $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ هو $- \cos (u)$ .

$- \cos (u) + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 2003$ .

$- \cos (x^{3} + 2003) + C$

خطوة 10

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 3 x^{2} \sin (x^{3} + 2003)$ .

$F (x) =$ $- \cos (x^{3} + 2003) + C$