حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{π} \frac{\sin (x)}{1 + \cos (x)} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = 1 + \cos (x)$ . إذن $d u = - \sin (x) d x$ ، لذا $- d u = \sin (x) d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = 1 + \cos (x)$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

خطوة 1.1.2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.2.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

خطوة 1.1.3

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

خطوة 1.1.4

اطرح $\sin (x)$ من $0$ .

$- \sin (x)$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (0)$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{lower} = 1 + 1$

خطوة 1.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$u_{lower} = 2$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (π)$

خطوة 1.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$u_{upper} = 1 - \cos (0)$

خطوة 1.5.1.2

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1 \cdot 1$

خطوة 1.5.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$u_{upper} = 1 - 1$

خطوة 1.5.2

اطرح $1$ من $1$ .

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 0$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{2}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

خطوة 2

قسّم الكسر إلى عدة كسور.

$\int_{2}^{0} - \frac{1}{u} d u$

خطوة 3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$- \int_{2}^{0} \frac{1}{u} d u$

خطوة 4

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |)]_{2}^{0})$

خطوة 5

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $0$ وفي $2$ .

$- (\ln (| 0 |) - \ln (| 2 |))$

خطوة 6

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 0 |}{| 2 |})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $0$ تساوي $0$ .

$- \ln (\frac{0}{| 2 |})$

خطوة 7.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$- \ln (\frac{0}{2})$

خطوة 7.3

اقسِم $0$ على $2$ .

$- \ln (0)$

خطوة 7.4

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$- \ln (0)$

خطوة 8

اللوغاريتم الطبيعي للصفر يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف