حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{20} 100 (k^{2} - 5 k + 1)$

خطوة 1

بسّط المجموع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$100 k^{2} + 100 (- 5 k) + 100 \cdot 1$

خطوة 1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اضرب $- 5$ في $100$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100 \cdot 1$

خطوة 1.2.2

اضرب $100$ في $1$ .

$100 k^{2} - 500 k + 100$

خطوة 1.3

أعِد كتابة المجموع.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100$

خطوة 2

قسّم المجموع إلى مجاميع أصغر تتناسب مع قواعد الجمع.

$\sum_{k = 1}^{20} 100 k^{2} - 500 k + 100 = 100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2} - 500 \sum_{k = 1}^{20} k + \sum_{k = 1}^{20} 100$

خطوة 3

احسِب قيمة $100 \sum_{k = 1}^{20} k^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $2$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

خطوة 3.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(100) (\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6})$

خطوة 3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أضف $20$ و $1$ .

$100 \frac{20 \cdot 21 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2

اجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

اضرب $20$ في $21$ .

$100 \frac{420 (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.2.2

اضرب $2$ في $20$ .

$100 \frac{420 (40 + 1)}{6}$

خطوة 3.3.1.3

أضف $40$ و $1$ .

$100 \frac{420 \cdot 41}{6}$

خطوة 3.3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $420$ في $41$ .

$100 (\frac{17220}{6})$

خطوة 3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $100$ .

$2 (50) \frac{17220}{6}$

خطوة 3.3.2.2.2

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 50 \frac{17220}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.2.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$50 (\frac{17220}{3})$

خطوة 3.3.2.3

اجمع $50$ و $\frac{17220}{3}$ .

$\frac{50 \cdot 17220}{3}$

خطوة 3.3.2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.4.1

اضرب $50$ في $17220$ .

$\frac{861000}{3}$

خطوة 3.3.2.4.2

اقسِم $861000$ على $3$ .

$287000$

خطوة 4

احسِب قيمة $500 \sum_{k = 1}^{20} k$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

صيغة جمع متعدد الحدود ذي الدرجة $1$ هي:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

خطوة 4.2

عوّض بالقيم في القاعدة وتأكد من الضرب في الحد الأمامي.

$(- 500) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

خطوة 4.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أضف $20$ و $1$ .

$- 500 \frac{20 \cdot 21}{2}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $20$ في $21$ .

$- 500 (\frac{420}{2})$

خطوة 4.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 500$ .

$2 (- 250) \frac{420}{2}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot - 250 \frac{420}{2}$

خطوة 4.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- 250 \cdot 420$

خطوة 4.3.3

اضرب $- 250$ في $420$ .

$- 105000$

خطوة 5

احسِب قيمة $\sum_{k = 1}^{20} 100$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

صيغة جمع الثابت هي:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

خطوة 5.2

عوّض بالقيم في القاعدة.

$(100) (20)$

خطوة 5.3

اضرب $100$ في $20$ .

$2000$

خطوة 6

أضف نتائج المجاميع.

$287000 - 105000 + 2000$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اطرح $105000$ من $287000$ .

$182000 + 2000$

خطوة 7.2

أضف $182000$ و $2000$ .

$184000$