حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [\sin (4 x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = \sin (y)$ و $g (y) = 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.2.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.2.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $4 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $4 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') + \frac{d}{d y} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [- 8 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- 8 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- 8 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 8 (2 x x') + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $- 8$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + \frac{d}{d y} [9 x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [9 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $9 x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $9 \frac{d}{d y} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.4.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + \frac{d}{d y} [π]$

خطوة 3.5

بما أن $π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $π$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x' + 0$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$ و $0$ .

$\cos (4 x) (4 x') - 16 x x' + 9 x'$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = 4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$ .

$4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x' = 1$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في $4 \cos (4 x) x' - 16 x x' + 9 x'$ .

$4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x' = 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $x'$ من $4 x' \cos (4 x) - 16 x x' + 9 x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $x'$ من $4 x' \cos (4 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x)) - 16 x x' + 9 x' = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $x'$ من $- 16 x x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + 9 x' = 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $x'$ من $9 x'$ .

$x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

خطوة 5.3.4

أخرِج العامل $x'$ من $x' (4 \cos (4 x)) + x' (- 16 x)$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9 = 1$

خطوة 5.3.5

أخرِج العامل $x'$ من $x' (4 \cos (4 x) - 16 x) + x' \cdot 9$ .

$x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ على $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9) = 1$ على $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (4 \cos (4 x) - 16 x + 9)}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

خطوة 5.4.2.1.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{4 \cos (4 x) - 16 x + 9}$