حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (x y) = 2 x$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

خطوة 2.5

اضرب $y$ في $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

خطوة 2.6.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

خطوة 3.3

اضرب $2$ في $1$ .

$2$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 2$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 2$

خطوة 5.2

أضف $y \sin (x y)$ إلى كلا المتعادلين.

$- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$ على $- x \sin (x y)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $- x y' \sin (x y) = 2 + y \sin (x y)$ على $- x \sin (x y)$ .

$\frac{- x y' \sin (x y)}{- x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{2}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

افصِل الكسور.

$y' = \frac{2}{- x} \cdot \frac{1}{\sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.2

حوّل من $\frac{1}{\sin (x y)}$ إلى $\csc (x y)$ .

$y' = \frac{2}{- x} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2}{x} \csc (x y) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.4

اجمع $\csc (x y)$ و $\frac{2}{x}$ .

$y' = - \frac{\csc (x y) \cdot 2}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.5

انقُل $2$ إلى يسار $\csc (x y)$ .

$y' = - \frac{2 \cdot \csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $\sin (x y)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

خطوة 5.3.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} + \frac{y}{- x}$

خطوة 5.3.3.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 \csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$