حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int \frac{x^{3}}{x + 3} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = x + 3$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = x + 3$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

خطوة 1.1.4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 1.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 1.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\int \frac{{(u - 3)}^{3}}{u} d u$

خطوة 2

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u {(- 3)}^{2} + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

خطوة 3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) + {(- 3)}^{3}}{u} d u$

خطوة 3.2

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 {(- 3)}^{2}}{u} d u$

خطوة 3.3

أعِد كتابة الأُس في صورة حاصل ضرب.

$\int \frac{u^{3} + 3 u^{2} \cdot - 3 + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

خطوة 3.4

انقُل $u^{2}$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 u (- 3 \cdot - 3) - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

خطوة 3.5

انقُل $u$ .

$\int \frac{u^{3} + 3 \cdot - 3 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 (- 3 \cdot - 3)}{u} d u$

خطوة 3.6

اضرب $3$ في $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 3 \cdot - 3 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

خطوة 3.7

اضرب $3$ في $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} - 9 \cdot - 3 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

خطوة 3.8

اضرب $- 9$ في $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 3 \cdot - 3 \cdot - 3}{u} d u$

خطوة 3.9

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u + 9 \cdot - 3}{u} d u$

خطوة 3.10

اضرب $9$ في $- 3$ .

$\int \frac{u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27}{u} d u$

خطوة 4

اقسِم $u^{3} - 9 u^{2} + 27 u - 27$ على $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$u$

$0$

$u^{3}$

$9 u^{2}$

$27 u$

$27$

خطوة 4.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $u^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

					$u^{2}$
	$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$

خطوة 4.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			+	$u^{3}$	+	$0$

خطوة 4.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $u^{3} + 0$

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$

خطوة 4.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$

خطوة 4.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$u^{2}$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

خطوة 4.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 9 u^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$

خطوة 4.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					-	$9 u^{2}$	+	$0$

خطوة 4.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 9 u^{2} + 0$

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$

خطوة 4.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$

خطوة 4.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$u^{2}$	-	$9 u$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

خطوة 4.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $27 u$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $u$ .

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$

خطوة 4.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							+	$27 u$	+	$0$

خطوة 4.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $27 u + 0$

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$

خطوة 4.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$u^{2}$	-	$9 u$	+	$27$
$u$	+	$0$		$u^{3}$	-	$9 u^{2}$	+	$27 u$	-	$27$
			-	$u^{3}$	-	$0$
					-	$9 u^{2}$	+	$27 u$
					+	$9 u^{2}$	-	$0$
							+	$27 u$	-	$27$
							-	$27 u$	-	$0$
									-	$27$

خطوة 4.16

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int u^{2} - 9 u + 27 - \frac{27}{u} d u$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int u^{2} d u + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C + \int - 9 u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

خطوة 7

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 9$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 \int u d u + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + \int 27 d u + \int - \frac{27}{u} d u$

خطوة 9

طبّق قاعدة الثابت.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{1}{2} u^{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $u^{2}$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C + \int - \frac{27}{u} d u$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - \int \frac{27}{u} d u$

خطوة 12

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $27$ خارج التكامل.

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - (27 \int \frac{1}{u} d u)$

خطوة 13

اضرب $27$ في $- 1$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 14

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} u^{3} + C - 9 (\frac{u^{2}}{2} + C) + 27 u + C - 27 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 15

بسّط.

$\frac{u^{3}}{3} - \frac{9 u^{2}}{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{3} u^{3} - \frac{9}{2} u^{2} + 27 u - 27 \ln (| u |) + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 3$ .

$\frac{1}{3} {(x + 3)}^{3} - \frac{9}{2} {(x + 3)}^{2} + 27 (x + 3) - 27 \ln (| x + 3 |) + C$