حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x \sqrt{x + 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int x \sqrt{x + 1} d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل بالتجزئة باستخدام القاعدة $\int u d v = u v - \int v d u$ ، حيث $u = x$ و $d v = \sqrt{x + 1}$ .

$x (\frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$x \frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 4.2

اجمع $x$ و $\frac{2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x$

خطوة 5

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $\frac{2}{3}$ خارج التكامل.

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \int {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} d x)$

خطوة 6

لنفترض أن $u = x + 1$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

افترض أن $u = x + 1$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أوجِد مشتقة $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

خطوة 6.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 6.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

خطوة 6.1.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 6.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 6.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{\frac{3}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أعِد كتابة $\frac{x (2 {(x + 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{2}{3} (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C)$ بالصيغة $\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{2}{3} x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 8.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اجمع $\frac{2}{3}$ و $x$ .

$\frac{2 x}{3} {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 8.2.2

اجمع $\frac{2 x}{3}$ و ${(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 8.2.3

اضرب $\frac{2}{5}$ في $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 8.2.4

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{5 \cdot 3} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 8.2.5

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} + C$

خطوة 8.2.6

لكتابة $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{3}{3} + C$

خطوة 8.2.7

اجمع $- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 8.2.8

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} u^{\frac{5}{2}} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 8.2.9

اجمع $u^{\frac{5}{2}}$ و $\frac{4}{15}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15} \cdot 3}{3} + C$

خطوة 8.2.10

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}}{3} + C$

خطوة 8.2.11

اجمع $- 3$ و $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 4}{15}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 4)}{15}}{3} + C$

خطوة 8.2.12

اضرب $4$ في $- 3$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12 u^{\frac{5}{2}}}{15}}{3} + C$

خطوة 8.2.13

أخرِج العامل $3$ من $- 12 u^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{15}}{3} + C$

خطوة 8.2.14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.14.1

أخرِج العامل $3$ من $15$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 (5)}}{3} + C$

خطوة 8.2.14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 (- 4 u^{\frac{5}{2}})}{3 \cdot 5}}{3} + C$

خطوة 8.2.14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 8.2.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 8.2.16

لكتابة $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 8.2.17

اجمع $2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{5}{5}$ .

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 8.2.18

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\frac{2 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 8.2.19

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3} + C$

خطوة 8.2.20

أعِد كتابة $\frac{\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}}{3}$ في صورة حاصل ضرب.

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5} \cdot \frac{1}{3} + C$

خطوة 8.2.21

اضرب $\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5}$ في $\frac{1}{3}$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{5 \cdot 3} + C$

خطوة 8.2.22

اضرب $5$ في $3$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 9

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 1$ .

$\frac{10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

خطوة 10

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$

خطوة 11

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = x \sqrt{x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (10 x {(x + 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 {(x + 1)}^{\frac{5}{2}}) + C$