حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin (x^{2} y^{2}) = 3 y$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (\sin (x^{2} y^{2})) = \frac{d}{d x} (3 y)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x^{2} y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

خطوة 2.1.2

مشتق $\sin (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{2} y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

خطوة 2.7

انقُل $2$ إلى يسار $y^{2}$ .

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x)$

خطوة 2.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x^{2} y^{2}) (2 x^{2} y y') + \cos (x^{2} y^{2}) (2 y^{2} x)$

خطوة 2.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 3 y'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) y' + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ .

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) = 3 y'$

خطوة 5.2

اطرح $3 y'$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) + 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y' = 0$

خطوة 5.3

اطرح $2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ من كلا المتعادلين.

$2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y' = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

خطوة 5.4

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2}) - 3 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

أخرِج العامل $y'$ من $2 x^{2} y y' \cos (x^{2} y^{2})$ .

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) - 3 y' = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

خطوة 5.4.2

أخرِج العامل $y'$ من $- 3 y'$ .

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) + y' \cdot - 3 = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

خطوة 5.4.3

أخرِج العامل $y'$ من $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2})) + y' \cdot - 3$ .

$y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$

خطوة 5.5

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ على $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اقسِم كل حد في $y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3) = - 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})$ على $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ .

$\frac{y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3)}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3} = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

خطوة 5.5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3)}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3} = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

خطوة 5.5.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

خطوة 5.5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x \cos (x^{2} y^{2})}{2 x^{2} y \cos (x^{2} y^{2}) - 3}$