حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{5} \frac{x}{x + 10} d x$

خطوة 1

اقسِم $x$ على $x + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$10$

$x$

$0$

خطوة 1.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$10$		$x$	+	$0$

خطوة 1.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$10$

خطوة 1.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 10$

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$

خطوة 1.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$10$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$10$
					-	$10$

خطوة 1.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int_{0}^{5} 1 - \frac{10}{x + 10} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{0}^{5} d x + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

خطوة 3

طبّق قاعدة الثابت.

$x]_{0}^{5} + \int_{0}^{5} - \frac{10}{x + 10} d x$

خطوة 4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x]_{0}^{5} - \int_{0}^{5} \frac{10}{x + 10} d x$

خطوة 5

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $10$ خارج التكامل.

$x]_{0}^{5} - (10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x)$

خطوة 6

اضرب $10$ في $- 1$ .

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{0}^{5} \frac{1}{x + 10} d x$

خطوة 7

لنفترض أن $u = x + 10$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

افترض أن $u = x + 10$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

أوجِد مشتقة $x + 10$ .

$\frac{d}{d x} [x + 10]$

خطوة 7.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 10$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

خطوة 7.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [10]$

خطوة 7.1.4

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 7.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 7.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = x + 10$ .

$u_{lower} = 0 + 10$

خطوة 7.3

أضف $0$ و $10$ .

$u_{lower} = 10$

خطوة 7.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = x + 10$ .

$u_{upper} = 5 + 10$

خطوة 7.5

أضف $5$ و $10$ .

$u_{upper} = 15$

خطوة 7.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 10$

$u_{upper} = 15$

خطوة 7.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$x]_{0}^{5} - 10 \int_{10}^{15} \frac{1}{u} d u$

خطوة 8

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$x]_{0}^{5} - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

خطوة 9

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

احسِب قيمة $x$ في $5$ وفي $0$ .

$(5) + 0 - 10 (\ln (| u |)]_{10}^{15})$

خطوة 9.2

احسِب قيمة $\ln (| u |)$ في $15$ وفي $10$ .

$(5) + 0 - 10 ((\ln (| 15 |)) - \ln (| 10 |))$

خطوة 9.3

أضف $5$ و $0$ .

$5 - 10 (\ln (| 15 |) - \ln (| 10 |))$

خطوة 10

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 - 10 \ln (\frac{| 15 |}{| 10 |})$

خطوة 11

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $15$ تساوي $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{| 10 |})$

خطوة 11.2

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $10$ تساوي $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{15}{10})$

خطوة 11.3

احذِف العامل المشترك لـ $15$ و $10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

أخرِج العامل $5$ من $15$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 (3)}{10})$

خطوة 11.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.2.1

أخرِج العامل $5$ من $10$ .

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

خطوة 11.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$5 - 10 \ln (\frac{5 \cdot 3}{5 \cdot 2})$

خطوة 11.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

خطوة 12

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$5 - 10 \ln (\frac{3}{2})$

الصيغة العشرية:

$0.94534891 \dots$

خطوة 13