حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x {(2 x + 1)}^{4}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x {(2 x + 1)}^{4})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(2 x + 1)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{4}] + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{4}$ و $g (x) = 2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x + 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.6.2

اضرب $2$ في $4$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 3.3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \cdot 1$

خطوة 3.3.8

اضرب ${(2 x + 1)}^{4}$ في $1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أخرِج العامل ${(2 x + 1)}^{3}$ من $x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

أخرِج العامل ${(2 x + 1)}^{3}$ من $x (8 {(2 x + 1)}^{3})$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{4}$

خطوة 3.4.1.2

أخرِج العامل ${(2 x + 1)}^{3}$ من ${(2 x + 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$

خطوة 3.4.1.3

أخرِج العامل ${(2 x + 1)}^{3}$ من ${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8) + 2 x + 1)$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (8 \cdot x + 2 x + 1)$

خطوة 3.4.2.2

أضف $8 x$ و $2 x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$