حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x = - 27$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x) = \frac{d}{d x} (- 27)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $y^{3} - 3 y^{2} - 9 y + 2 x^{2} + 20 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{3}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 3 y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 3 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 u_{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $y$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' - 3 (2 y y') + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.3.4

اضرب $2$ في $- 3$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' + \frac{d}{d x} [- 9 y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 9 y]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 9 y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 9 \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.4.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.5

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.5.3

اضرب $2$ في $2$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + \frac{d}{d x} [20 x]$

خطوة 2.6

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بما أن $20$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $20 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20 \cdot 1$

خطوة 2.6.3

اضرب $20$ في $1$ .

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' + 4 x + 20$

خطوة 2.7

أعِد ترتيب الحدود.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y'$

خطوة 3

بما أن $- 27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 27$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 4 x + 20 - 9 y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y'$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اطرح $4 x$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 6 y y' + 20 - 9 y' = - 4 x$

خطوة 5.1.2

اطرح $20$ من كلا المتعادلين.

$3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y' - 6 y y' - 9 y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y^{2} y'$ .

$3 y' y^{2} - 6 y y' - 9 y' = - 4 x - 20$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 6 y y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) - 9 y' = - 4 x - 20$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $3 y'$ من $- 9 y'$ .

$3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

خطوة 5.2.4

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' y^{2} + 3 y' (- 2 y)$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3 = - 4 x - 20$

خطوة 5.2.5

أخرِج العامل $3 y'$ من $3 y' (y^{2} - 2 y) + 3 y' \cdot - 3$ .

$3 y' (y^{2} - 2 y - 3) = - 4 x - 20$

خطوة 5.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

حلّل $y^{2} - 2 y - 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 3$ ومجموعهما $- 2$ .

$- 3, 1$

خطوة 5.3.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$3 y' ((y - 3) (y + 1)) = - 4 x - 20$

خطوة 5.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ على $3 (y - 3) (y + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $3 y' (y - 3) (y + 1) = - 4 x - 20$ على $3 (y - 3) (y + 1)$ .

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y' (y - 3) (y + 1)}{3 (y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y - 3) (y + 1)}{(y - 3) (y + 1)} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.2.3.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} + \frac{- 20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 5.4.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{3 (y - 3) (y + 1)} - \frac{20}{3 (y - 3) (y + 1)}$