حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$

خطوة 1

أكمل المربع لـ $x^{2} - 6 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 6$

$c = 0$

خطوة 1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

خطوة 1.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

خطوة 1.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 3}{1}$

خطوة 1.3.2.2.4

اقسِم $- 3$ على $1$ .

$d = - 3$

خطوة 1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{36}{4}$

خطوة 1.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

خطوة 1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $9$ .

$e = 0 - 9$

خطوة 1.4.2.2

اطرح $9$ من $0$ .

$e = - 9$

خطوة 1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(x - 3)}^{2} - 9$ .

${(x - 3)}^{2} - 9$

خطوة 2

استبدِل $x^{2} - 6 x$ بـ ${(x - 3)}^{2} - 9$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} - 9 + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11$

خطوة 3

انقُل $- 9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

${(x - 3)}^{2} + y^{2} + z^{2} + 4 y - 2 z = 11 + 9$

خطوة 4

أكمل المربع لـ $y^{2} + 4 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

خطوة 4.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 4.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

خطوة 4.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{2}{1}$

خطوة 4.3.2.2.4

اقسِم $2$ على $1$ .

$d = 2$

خطوة 4.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $4^{2}$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

خطوة 4.4.2.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

خطوة 4.4.2.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

خطوة 4.4.2.1.1.2.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

خطوة 4.4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 0 - 4$

خطوة 4.4.2.2

اطرح $4$ من $0$ .

$e = - 4$

خطوة 4.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

خطوة 5

استبدِل $y^{2} + 4 y$ بـ ${(y + 2)}^{2} - 4$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 11 + 9$

خطوة 6

انقُل $- 4$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $4$ إلى كلا الطرفين.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 + 4$

خطوة 7

أكمل المربع لـ $z^{2} - 2 z$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 1$

$b = - 2$

$c = 0$

خطوة 7.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 7.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 2$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}$

خطوة 7.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 1}{1}$

خطوة 7.3.2.2.4

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$d = - 1$

خطوة 7.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2.1.2

اضرب $4$ في $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 7.4.2.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.2.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

خطوة 7.4.2.1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

خطوة 7.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$e = 0 - 1$

خطوة 7.4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$e = - 1$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس ${(z - 1)}^{2} - 1$ .

${(z - 1)}^{2} - 1$

خطوة 8

استبدِل $z^{2} - 2 z$ بـ ${(z - 1)}^{2} - 1$ في المعادلة $x^{2} + y^{2} + z^{2} - 6 x + 4 y - 2 z = 11$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} - 1 = 11 + 9 + 4$

خطوة 9

انقُل $- 1$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $1$ إلى كلا الطرفين.

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 11 + 9 + 4 + 1$

خطوة 10

بسّط $11 + 9 + 4 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

أضف $11$ و $9$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 20 + 4 + 1$

خطوة 10.2

أضف $20$ و $4$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 24 + 1$

خطوة 10.3

أضف $24$ و $1$ .

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 25$

خطوة 11