حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}$ في صورة ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 - x^{2} - y^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 - x^{2} - y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(4 - x^{2} - y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x^{2} - y^{2}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - x^{2} - y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 9

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 11

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 13

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}])$

خطوة 14

بما أن $- y^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- y^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + 0)$

خطوة 15

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

خطوة 15.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 15.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 {(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x}{{(4 - x^{2} - y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$