حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x) d x$

خطوة 3

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int 3 \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 4

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 \int \cos (\frac{x}{3}) d x + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 5

لنفترض أن $u_{1} = \frac{x}{3}$ . إذن $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ ، لذا $3 d u_{1} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{1}$ و $d$ $u_{1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

افترض أن $u_{1} = \frac{x}{3}$ . أوجِد $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أوجِد مشتقة $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

خطوة 5.1.2

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{x}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 5.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

خطوة 5.1.4

اضرب $\frac{1}{3}$ في $1$ .

$\frac{1}{3}$

خطوة 5.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{1}$ و $d u_{1}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{3}$ .

$3 \int \cos (u_{1}) (1 \cdot 3) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 6.2

اضرب $3$ في $1$ .

$3 \int \cos (u_{1}) \cdot 3 d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 6.3

انقُل $3$ إلى يسار $\cos (u_{1})$ .

$3 \int 3 \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{1}$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$3 (3 \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 8

اضرب $3$ في $3$ .

$9 \int \cos (u_{1}) d u_{1} + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 9

تكامل $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ هو $\sin (u_{1})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (3 x) d x$

خطوة 10

لنفترض أن $u_{2} = 3 x$ . إذن $d u_{2} = 3 d x$ ، لذا $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u_{2}$ و $d$ $u_{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

افترض أن $u_{2} = 3 x$ . أوجِد $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1.1

أوجِد مشتقة $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

خطوة 10.1.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 10.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

خطوة 10.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$3$

خطوة 10.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u_{2}$ و $d u_{2}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

خطوة 11

اجمع $\sin (u_{2})$ و $\frac{1}{3}$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

خطوة 12

بما أن $\frac{1}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u_{2}$ ، انقُل $\frac{1}{3}$ خارج التكامل.

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

خطوة 13

تكامل $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ هو $- \cos (u_{2})$ .

$9 (\sin (u_{1}) + C) + \frac{1}{3} (- \cos (u_{2}) + C)$

خطوة 14

بسّط.

$9 \sin (u_{1}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

خطوة 15

عوّض مجددًا بقيمة كل متغير في التكامل بالتعويض.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\frac{x}{3}$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (u_{2})}{3} + C$

خطوة 15.2

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$9 \sin (\frac{x}{3}) - \frac{\cos (3 x)}{3} + C$

خطوة 16

أعِد ترتيب الحدود.

$9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$

خطوة 17

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = 3 \cos (\frac{x}{3}) + \sin (3 x)$ .

$F (x) =$ $9 \sin (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{3} \cos (3 x) + C$