حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \frac{5}{5 x^{2} + 5}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5}{5 x^{2} + 5})$

خطوة 2

مشتق $y$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $y'$ .

$y'$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $5$ و $5 x^{2} + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 x^{2} + 5}]$

خطوة 3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.2.1

أخرِج العامل $5$ من $5 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5}]$

خطوة 3.1.1.2.2

أخرِج العامل $5$ من $5$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2}) + 5 (1)}]$

خطوة 3.1.1.2.3

أخرِج العامل $5$ من $5 (x^{2}) + 5 (1)$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

خطوة 3.1.1.2.4

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{d}{d x} [\frac{5 \cdot 1}{5 (x^{2} + 1)}]$

خطوة 3.1.1.2.5

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 1}]$

خطوة 3.1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{x^{2} + 1}$ بالصيغة ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 3.3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

خطوة 3.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

خطوة 3.3.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

خطوة 3.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 3.4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 3.4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

خطوة 3.4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$y' = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$