حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x e^{- x}$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x e^{- x})$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ هو $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ حيث $f (y) = x$ و $g (y) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = e^{y}$ و $g (y) = - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d y} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $- \frac{d}{d y} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d y} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} \frac{d}{d y} [x]$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$x (e^{- x} (- x')) + e^{- x} x'$

خطوة 3.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أعِد ترتيب الحدود.

$- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$

خطوة 3.6.2

أعِد ترتيب العوامل في $- e^{- x} x x' + e^{- x} x'$ .

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = - x e^{- x} x' + e^{- x} x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$ .

$- x e^{- x} x' + e^{- x} x' = 1$

خطوة 5.2

أعِد ترتيب العوامل في $- x e^{- x} x' + e^{- x} x'$ .

$- x x' e^{- x} + x' e^{- x} = 1$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $x' e^{- x}$ من $- x x' e^{- x} + x' e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $x' e^{- x}$ من $- x x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} = 1$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $x' e^{- x}$ من $x' e^{- x}$ .

$x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1 = 1$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $x' e^{- x}$ من $x' e^{- x} (- x) + x' e^{- x} \cdot 1$ .

$x' e^{- x} (- x + 1) = 1$

خطوة 5.4

اقسِم كل حد في $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ على $e^{- x} (- x + 1)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اقسِم كل حد في $x' e^{- x} (- x + 1) = 1$ على $e^{- x} (- x + 1)$ .

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

خطوة 5.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $e^{- x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' e^{- x} (- x + 1)}{e^{- x} (- x + 1)} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

خطوة 5.4.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

خطوة 5.4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (- x + 1)}{- x + 1} = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

خطوة 5.4.2.2.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- x + 1)}$

خطوة 5.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) + 1)}$

خطوة 5.4.3.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x) - 1 (- 1))}$

خطوة 5.4.3.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- (x - 1))}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة السوالب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.4.1

أعِد كتابة $- (x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x - 1)$ .

$x' = \frac{1}{e^{- x} (- 1 (x - 1))}$

خطوة 5.4.3.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x' = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{1}{e^{- x} (x - 1)}$