حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[4]{x^{3} + 4 x^{2} + 7}$ في صورة ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{4}}$ و $g (x) = x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{4}}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 4}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 6.2

اطرح $4$ من $1$ .

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{- 3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{4}$ و ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ .

$\frac{{(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}}{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 7.3

انقُل ${(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{- \frac{3}{4}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} \frac{d}{d x} [x^{3} + 4 x^{2} + 7]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 4 x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 12

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 13

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x + 0)$

خطوة 14

أضف $3 x^{2} + 8 x$ و $0$ .

$\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$

خطوة 15

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}} (3 x^{2} + 8 x)$ .

$(3 x^{2} + 8 x) \frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 15.2

اضرب $3 x^{2} + 8 x$ في $\frac{1}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$ .

$\frac{3 x^{2} + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 15.3

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} + 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.3.1

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{x (3 x) + 8 x}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 15.3.2

أخرِج العامل $x$ من $8 x$ .

$\frac{x (3 x) + x \cdot 8}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$

خطوة 15.3.3

أخرِج العامل $x$ من $x (3 x) + x \cdot 8$ .

$\frac{x (3 x + 8)}{4 {(x^{3} + 4 x^{2} + 7)}^{\frac{3}{4}}}$