حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))}$

خطوة 1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

خطوة 1.2

عند اقتراب $x$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

خطوة 1.3

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.2

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.9.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

خطوة 3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.10.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.10.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

خطوة 3.11

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}$

خطوة 3.12

اضرب $\frac{1}{\ln (x)}$ في $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x) x}}$

خطوة 3.13

أعِد ترتيب الحدود.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x \ln (x)}}$

خطوة 4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x \ln (x))$

خطوة 5

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x \ln (x))$

خطوة 6

جمّع العوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اجمع $x$ و $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 \sqrt{x}} \ln (x)$

خطوة 6.2

اجمع $\frac{x}{2 \sqrt{x}}$ و $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

خطوة 7

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} x \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

خطوة 7.1.2

احسِب قيمة حد بسط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

خطوة 7.1.2.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

خطوة 7.1.2.2

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

خطوة 7.1.2.3

حاصل ضرب ما لا نهاية في ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

خطوة 7.1.3

بما أن الدالة $\sqrt{x}$ تقترب من $\infty$ ، إذن حاصل ضرب الثابت الموجب $2$ في الدالة يقترب أيضًا من $\infty$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.3.1

انظر النهاية ذات المضاعف الثابت $2$ المحذوف.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

خطوة 7.1.3.2

عند اقتراب $x$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 7.1.3.3

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 7.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.3

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.4

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.7

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

خطوة 7.3.8

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]}$

خطوة 7.3.9

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

خطوة 7.3.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

خطوة 7.3.11

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

خطوة 7.3.12

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

خطوة 7.3.13

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

خطوة 7.3.14

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.14.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

خطوة 7.3.14.2

اطرح $2$ من $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

خطوة 7.3.15

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

خطوة 7.3.16

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

خطوة 7.3.17

اجمع $2$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

خطوة 7.3.18

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 7.3.19

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 7.3.20

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

خطوة 7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) x^{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.5

أعِد كتابة $x^{\frac{1}{2}}$ بالصيغة $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) \sqrt{x}$

خطوة 8

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة حاصل ضرب النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 1 + \ln (x) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

خطوة 8.2

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $x$ من $\infty$ .

$(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

خطوة 8.3

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $x$ من $\infty$ .

$(1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

خطوة 9

عند اقتراب اللوغاريتم من ما لا نهاية، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

خطوة 10

عند اقتراب $x$ من $\infty$ للجذور، تتجه القيمة إلى $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot \infty$

خطوة 11

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

ما لا نهاية زائد أو ناقص أي عدد يساوي ما لا نهاية.

$\infty \cdot \infty$

خطوة 11.2

حاصل ضرب ما لا نهاية في ما لا نهاية يساوي ما لا نهاية.

$\infty$