حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

خطوة 1

اكتب $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ في صورة دالة.

$f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6} x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

بما أن $\frac{1}{6}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{1}{6} x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.3

اجمع $4$ و $\frac{1}{6}$ .

$\frac{4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.4

اجمع $\frac{4}{6}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.5

احذِف العامل المشترك لـ $4$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.1

أخرِج العامل $2$ من $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.5.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.5.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.5.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.2.5.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.3.3

اضرب $3$ في $- 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$

خطوة 2.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.4.1

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 7 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 7 (2 x)$

خطوة 2.1.4.3

اضرب $2$ في $- 7$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$

خطوة 2.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{2 x^{3}}{3} - 6 x^{2} - 14 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{3}}{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بما أن $\frac{2}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 x^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.3

اجمع $3$ و $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.4

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.5

اجمع $\frac{6}{3}$ و $x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.6

احذِف العامل المشترك لـ $6$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.1

أخرِج العامل $3$ من $6 x^{2}$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.6.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.6.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.6.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.6.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.2.6.2.4

اقسِم $2 x^{2}$ على $1$ .

$2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 6 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.3.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$2 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [- 14 x]$

خطوة 2.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 14 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

بما أن $- 14$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 14 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 2.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 \cdot 1$

خطوة 2.2.4.3

اضرب $- 14$ في $1$ .

$f'' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 14$

خطوة 2.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14$

خطوة 3

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x^{2} - 12 x - 14 = 0$

خطوة 3.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 12 x - 14$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 14 = 0$

خطوة 3.2.1.2

أخرِج العامل $2$ من $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 14 = 0$

خطوة 3.2.1.3

أخرِج العامل $2$ من $- 14$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

خطوة 3.2.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7 = 0$

خطوة 3.2.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 7$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

حلّل $x^{2} - 6 x - 7$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 7$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 7, 1$

خطوة 3.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$2 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

خطوة 3.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$2 (x - 7) (x + 1) = 0$

خطوة 3.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 3.4

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 3.5

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 3.5.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 3.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $2 (x - 7) (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 7, - 1$

خطوة 4

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $7$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot {(7)}^{4} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $4$ .

$f (7) = \frac{1}{6} \cdot 2401 - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.2

اجمع $\frac{1}{6}$ و $2401$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 {(7)}^{3} - 7 {(7)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.3

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 2 \cdot 343 - 7 {(7)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.4

اضرب $- 2$ في $343$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 {(7)}^{2}$

خطوة 4.1.2.1.5

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 7 \cdot 49$

خطوة 4.1.2.1.6

اضرب $- 7$ في $49$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} - 686 - 343$

خطوة 4.1.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.2.1

اكتب $- 686$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} - 343$

خطوة 4.1.2.2.2

اضرب $\frac{- 686}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686}{1} \cdot \frac{6}{6} - 343$

خطوة 4.1.2.2.3

اضرب $\frac{- 686}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} - 343$

خطوة 4.1.2.2.4

اكتب $- 343$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1}$

خطوة 4.1.2.2.5

اضرب $\frac{- 343}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343}{1} \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 4.1.2.2.6

اضرب $\frac{- 343}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (7) = \frac{2401}{6} + \frac{- 686 \cdot 6}{6} + \frac{- 343 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (7) = \frac{2401 - 686 \cdot 6 - 343 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.1.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.4.1

اضرب $- 686$ في $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 343 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.1.2.4.2

اضرب $- 343$ في $6$ .

$f (7) = \frac{2401 - 4116 - 2058}{6}$

خطوة 4.1.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.5.1

اطرح $4116$ من $2401$ .

$f (7) = \frac{- 1715 - 2058}{6}$

خطوة 4.1.2.5.2

اطرح $2058$ من $- 1715$ .

$f (7) = \frac{- 3773}{6}$

خطوة 4.1.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (7) = - \frac{3773}{6}$

خطوة 4.1.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{3773}{6}$ .

$- \frac{3773}{6}$

خطوة 4.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $7$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ هي $(7, - \frac{3773}{6})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(7, - \frac{3773}{6})$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $- 1$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} \cdot 1 - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.2

اضرب $\frac{1}{6}$ في $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 {(- 1)}^{3} - 7 {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.3

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} - 2 \cdot - 1 - 7 {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 {(- 1)}^{2}$

خطوة 4.3.2.1.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7 \cdot 1$

خطوة 4.3.2.1.6

اضرب $- 7$ في $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + 2 - 7$

خطوة 4.3.2.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.2.1

اكتب $2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} - 7$

خطوة 4.3.2.2.2

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2}{1} \cdot \frac{6}{6} - 7$

خطوة 4.3.2.2.3

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} - 7$

خطوة 4.3.2.2.4

اكتب $- 7$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1}$

خطوة 4.3.2.2.5

اضرب $\frac{- 7}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{6}{6}$

خطوة 4.3.2.2.6

اضرب $\frac{- 7}{1}$ في $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{6} + \frac{2 \cdot 6}{6} + \frac{- 7 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.3.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{1 + 2 \cdot 6 - 7 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.4.1

اضرب $2$ في $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 7 \cdot 6}{6}$

خطوة 4.3.2.4.2

اضرب $- 7$ في $6$ .

$f (- 1) = \frac{1 + 12 - 42}{6}$

خطوة 4.3.2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.5.1

أضف $1$ و $12$ .

$f (- 1) = \frac{13 - 42}{6}$

خطوة 4.3.2.5.2

اطرح $42$ من $13$ .

$f (- 1) = \frac{- 29}{6}$

خطوة 4.3.2.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 1) = - \frac{29}{6}$

خطوة 4.3.2.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{29}{6}$ .

$- \frac{29}{6}$

خطوة 4.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $- 1$ في $f (x) = \frac{1}{6} x^{4} - 2 x^{3} - 7 x^{2}$ هي $(- 1, - \frac{29}{6})$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(- 1, - \frac{29}{6})$

خطوة 4.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(7, - \frac{3773}{6}), (- 1, - \frac{29}{6})$

خطوة 5

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 7) \cup (7, \infty)$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, - 1)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1.1$ في العبارة.

$f'' (- 1.1) = 2 {(- 1.1)}^{2} - 12 \cdot - 1.1 - 14$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $- 1.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (- 1.1) = 2 \cdot 1.21 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $2$ في $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 - 12 \cdot - 1.1 - 14$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 12$ في $- 1.1$ .

$f'' (- 1.1) = 2.42 + 13.2 - 14$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

أضف $2.42$ و $13.2$ .

$f'' (- 1.1) = 15.62 - 14$

خطوة 6.2.2.2

اطرح $14$ من $15.62$ .

$f'' (- 1.1) = 1.62$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $1.62$ .

$1.62$

خطوة 6.3

في $- 1.1$ ، المشتق الثاني هو $1.62$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, - 1)$ .

تزايد خلال $(- \infty, - 1)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(- 1, 7)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f'' (3) = 2 {(3)}^{2} - 12 \cdot 3 - 14$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f'' (3) = 2 \cdot 9 - 12 \cdot 3 - 14$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $2$ في $9$ .

$f'' (3) = 18 - 12 \cdot 3 - 14$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 12$ في $3$ .

$f'' (3) = 18 - 36 - 14$

خطوة 7.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $36$ من $18$ .

$f'' (3) = - 18 - 14$

خطوة 7.2.2.2

اطرح $14$ من $- 18$ .

$f'' (3) = - 32$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $- 32$ .

$- 32$

خطوة 7.3

المشتق الثاني عند $3$ يساوي $- 32$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(- 1, 7)$

تناقص خلال $(- 1, 7)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 8

عوّض بقيمة من الفترة $(7, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $7.1$ في العبارة.

$f'' (7.1) = 2 {(7.1)}^{2} - 12 \cdot 7.1 - 14$

خطوة 8.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1.1

ارفع $7.1$ إلى القوة $2$ .

$f'' (7.1) = 2 \cdot 50.41 - 12 \cdot 7.1 - 14$

خطوة 8.2.1.2

اضرب $2$ في $50.41$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 12 \cdot 7.1 - 14$

خطوة 8.2.1.3

اضرب $- 12$ في $7.1$ .

$f'' (7.1) = 100.82 - 85.2 - 14$

خطوة 8.2.2

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اطرح $85.2$ من $100.82$ .

$f'' (7.1) = 15.62 - 14$

خطوة 8.2.2.2

اطرح $14$ من $15.62$ .

$f'' (7.1) = 1.62$

خطوة 8.2.3

الإجابة النهائية هي $1.62$ .

$1.62$

خطوة 8.3

في $7.1$ ، المشتق الثاني هو $1.62$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(7, \infty)$ .

تزايد خلال $(7, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 9

نقطة الانقلاب هي نقطة على منحنى يغيّر التقعر عندها العلامة من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب. نقاط الانقلاب في هذه الحالة هي $(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$ .

$(- 1, - \frac{29}{6}), (7, - \frac{3773}{6})$

خطوة 10