حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$

خطوة 1

يمكن إيجاد الدالة $F (x)$ بإيجاد التكامل غير المحدد للمشتق $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

خطوة 2

عيّن التكامل لإيجاد الحل.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{x + 2} d x$

خطوة 3

اقسِم $x - 1$ على $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$2$

$x$

$1$

خطوة 3.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$1$
	$x$	+	$2$		$x$	-	$1$

خطوة 3.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			+	$x$	+	$2$

خطوة 3.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x + 2$

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$2$

خطوة 3.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$1$
$x$	+	$2$		$x$	-	$1$
			-	$x$	-	$2$
					-	$3$

خطوة 3.6

الإجابة النهائية هي ناتج القسمة زائد الباقي على المقسوم عليه.

$\int 1 - \frac{3}{x + 2} d x$

خطوة 4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int d x + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

خطوة 5

طبّق قاعدة الثابت.

$x + C + \int - \frac{3}{x + 2} d x$

خطوة 6

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$x + C - \int \frac{3}{x + 2} d x$

خطوة 7

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $3$ خارج التكامل.

$x + C - (3 \int \frac{1}{x + 2} d x)$

خطوة 8

اضرب $3$ في $- 1$ .

$x + C - 3 \int \frac{1}{x + 2} d x$

خطوة 9

لنفترض أن $u = x + 2$ . إذن $d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

افترض أن $u = x + 2$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

أوجِد مشتقة $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

خطوة 9.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x + 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 9.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

خطوة 9.1.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$1 + 0$

خطوة 9.1.5

أضف $1$ و $0$ .

$1$

خطوة 9.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$x + C - 3 \int \frac{1}{u} d u$

خطوة 10

تكامل $\frac{1}{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $\ln (| u |)$ .

$x + C - 3 (\ln (| u |) + C)$

خطوة 11

بسّط.

$x - 3 \ln (| u |) + C$

خطوة 12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x + 2$ .

$x - 3 \ln (| x + 2 |) + C$

خطوة 13

الإجابة هي المشتق العكسي للدالة $f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$ .

$F (x) =$ $x - 3 \ln (| x + 2 |) + C$