حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int (\frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x}) d x$

خطوة 1

احذِف الأقواس.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} + 5 e^{7 x} d x$

خطوة 2

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int \frac{- 4 x - 4 x^{5}}{x^{2}} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 3.2

اضرب الأُسس في ${(x^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{2 \cdot - 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 3.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\int (- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 4

وسّع $(- 4 x - 4 x^{5}) x^{- 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\int - 4 x \cdot x^{- 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 4.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\int - 4 (x^{1} x^{- 2}) - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int - 4 x^{1 - 2} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 4.4

اطرح $2$ من $1$ .

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5} x^{- 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 4.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{5 - 2} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 4.6

اطرح $2$ من $5$ .

$\int - 4 x^{- 1} - 4 x^{3} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 4.7

أعِد ترتيب $- 4 x^{- 1}$ و $- 4 x^{3}$ .

$\int - 4 x^{3} - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 5

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int - 4 x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 6

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- 4 \int x^{3} d x + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 7

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 4 x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 8

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 4$ خارج التكامل.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 \int x^{- 1} d x + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 9

تكامل $x^{- 1}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\ln (| x |)$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \int 5 e^{7 x} d x$

خطوة 10

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $5$ خارج التكامل.

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{7 x} d x$

خطوة 11

لنفترض أن $u = 7 x$ . إذن $d u = 7 d x$ ، لذا $\frac{1}{7} d u = d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

افترض أن $u = 7 x$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

أوجِد مشتقة $7 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x]$

خطوة 11.1.2

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 11.1.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \cdot 1$

خطوة 11.1.4

اضرب $7$ في $1$ .

$7$

خطوة 11.2

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ .

$- 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اجمع $\frac{1}{4}$ و $x^{4}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int e^{u} \frac{1}{7} d u$

خطوة 12.2

اجمع $e^{u}$ و $\frac{1}{7}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{e^{u}}{7} d u$

خطوة 13

بما أن $\frac{1}{7}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{7}$ خارج التكامل.

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + 5 (\frac{1}{7} \int e^{u} d u)$

خطوة 14

اجمع $\frac{1}{7}$ و $5$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} \int e^{u} d u$

خطوة 15

تكامل $e^{u}$ بالنسبة إلى $u$ هو $e^{u}$ .

$- 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 4 (\ln (| x |) + C) + \frac{5}{7} (e^{u} + C)$

خطوة 16

بسّط.

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{u} + C$

خطوة 17

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x$ .

$- x^{4} - 4 \ln (| x |) + \frac{5}{7} e^{7 x} + C$