حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$5^{x} + 5^{y} = 10$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d x} (5^{x} + 5^{y}) = \frac{d}{d x} (10)$

خطوة 2

أوجِد مشتقة المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $5^{x} + 5^{y}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [5^{x}] + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d x} [5^{y}]$

خطوة 2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [5^{y}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = 5^{x}$ و $g (x) = y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $y$ .

$5^{x} \ln (5) + \frac{d}{d u} [5^{u}] \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $5$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{u} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $y$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) \frac{d}{d x} [y]$

خطوة 2.3.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d x} [y]$ بالصيغة $y'$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$

خطوة 3

بما أن $10$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $10$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y' = 0$

خطوة 5

أوجِد قيمة $y'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

أعِد ترتيب العوامل في $5^{x} \ln (5) + 5^{y} \ln (5) y'$ .

$5^{x} \ln (5) + y' \cdot (5^{y} \ln (5)) = 0$

خطوة 5.1.2

أعِد ترتيب $y'$ و $5^{y}$ .

$5^{x} \ln (5) + 5^{y} \cdot (y' \ln (5)) = 0$

خطوة 5.1.3

أعِد ترتيب $5^{x} \ln (5)$ و $5^{y} \cdot y' \ln (5)$ .

$5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5) = 0$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط $5^{y} \cdot (y' \ln (5)) + 5^{x} \ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

احذِف الأقواس.

$5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5) = 0$

خطوة 5.2.1.2

أعِد ترتيب العوامل في $5^{y} y' \ln (5) + 5^{x} \ln (5)$ .

$y' \ln (5) \cdot 5^{y} + \ln (5) \cdot 5^{x} = 0$

خطوة 5.3

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} + 0$

خطوة 5.4

أضف $- 5^{y} - 5^{x}$ و $0$ .

$y' \ln (5) + \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x}$

خطوة 5.5

اطرح $\ln (5)$ من كلا المتعادلين.

$y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$

خطوة 5.6

اقسِم كل حد في $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ على $\ln (5)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

اقسِم كل حد في $y' \ln (5) = - 5^{y} - 5^{x} - \ln (5)$ على $\ln (5)$ .

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y' \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.6.2.1.2

اقسِم $y'$ على $1$ .

$y' = \frac{- 5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} + \frac{- 5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.6.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.6.3.1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.3.1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} + \frac{- \ln (5)}{\ln (5)}$

خطوة 5.6.3.1.3.2

اقسِم $- 1$ على $1$ .

$y' = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$

خطوة 6

استبدِل $y'$ بـ $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5^{y}}{\ln (5)} - \frac{5^{x}}{\ln (5)} - 1$