حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{\infty} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{x}{{(1 + x^{2})}^{2}} d x$

خطوة 2

لنفترض أن $u = 1 + x^{2}$ . إذن $d u = 2 x d x$ ، لذا $\frac{1}{2} d u = x d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

افترض أن $u = 1 + x^{2}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أوجِد مشتقة $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

خطوة 2.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$0 + 2 x$

خطوة 2.1.5

أضف $0$ و $2 x$ .

$2 x$

خطوة 2.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 0^{2}$

خطوة 2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = 1 + 0$

خطوة 2.3.2

أضف $1$ و $0$ .

$u_{lower} = 1$

خطوة 2.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

خطوة 2.5

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

خطوة 2.6

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $\frac{1}{u^{2}}$ في $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2} \cdot 2} d u$

خطوة 3.2

انقُل $2$ إلى يسار $u^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 u^{2}} d u$

خطوة 4

بما أن $\frac{1}{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{2}$ خارج التكامل.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{2}} d u$

خطوة 5

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

انقُل $u^{2}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} {(u^{2})}^{- 1} d u$

خطوة 5.2

اضرب الأُسس في ${(u^{2})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{2 \cdot - 1} d u$

خطوة 5.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{1 + t^{2}} u^{- 2} d u$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- 2}$ بالنسبة إلى $u$ هو $- u^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$

خطوة 7

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- u^{- 1}]_{1}^{1 + t^{2}}}{2}$

خطوة 8

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

احسِب قيمة $- u^{- 1}$ في $1 + t^{2}$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- {(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

خطوة 8.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{t \to \infty} \frac{- {(1 + t^{2})}^{- 1} + 1}{2}$

خطوة 9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) + 1}{2}$

خطوة 9.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

خطوة 9.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- ({(1 + t^{2})}^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

خطوة 9.4

أعِد كتابة $- ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ بالصيغة $- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 ({(1 + t^{2})}^{- 1} - 1)}{2}$

خطوة 9.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$lim_{t \to \infty} - \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

خطوة 10

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

انقُل الحد $- 1$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{- 1} - 1}{2}$

خطوة 10.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - 1$

خطوة 10.3

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.4

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.5

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{1 + t^{2}}$ يقترب من $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

خطوة 10.6

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.1

احسِب قيمة حد $1$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

خطوة 10.6.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.2.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

خطوة 10.6.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

خطوة 10.6.2.3

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.6.2.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

خطوة 10.6.2.3.2

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 11

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$