حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = (x^{3} - 2) \sqrt{x^{2} + 1}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x^{2} + 1}$ في صورة ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{3} - 2) {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{3} - 2$ و $g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 8

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 8.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{{(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 8.3

انقُل ${(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{3} - 2) (\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 9

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 12.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 12.3

اجمع $x$ و $\frac{2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x \cdot 2}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 12.4

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$(x^{3} - 2) \frac{2 \cdot x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 12.5

ألغِ العامل المشترك.

$(x^{3} - 2) \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 12.6

أعِد كتابة العبارة.

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - 2]$

خطوة 13

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} - 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

خطوة 15

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2} + 0)$

خطوة 16

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أضف $3 x^{2}$ و $0$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} (3 x^{2})$

خطوة 16.2

انقُل $3$ إلى يسار ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

خطوة 17

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{3} - 2) \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 17.2

اضرب $x^{3} - 2$ في $\frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x^{3} - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$

خطوة 17.3

لكتابة $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(x^{3} - 2) x}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x^{3} - 2) x + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.1

أخرِج العامل $x$ من $(x^{3} - 2) x + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.1.1

أخرِج العامل $x$ من $(x^{3} - 2) x$ .

$\frac{x (x^{3} - 2) + 3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.1.2

أخرِج العامل $x$ من $3 x^{2} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (x^{3} - 2) + x (3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.1.3

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{3} - 2) + x (3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.2

اضرب ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ في ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.2.1

انقُل ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.2.5

اقسِم $2$ على $2$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x {(x^{2} + 1)}^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.3

بسّط $3 x {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x \cdot x^{2} + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 (x^{2} x) + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 (x^{2} x^{1}) + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x^{2 + 1} + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x^{3} + 3 x \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.6

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{x (x^{3} - 2 + 3 x^{3} + 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.7

أضف $x^{3}$ و $3 x^{3}$ .

$\frac{x (4 x^{3} - 2 + 3 x)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.8

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{x (4 x^{3} + 3 x - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17.5.9

حلّل $4 x^{3} + 3 x - 2$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.9.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

خطوة 17.5.9.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

خطوة 17.5.9.3

عوّض بـ $0.5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $0.5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.9.3.1

عوّض بـ $0.5$ في متعدد الحدود.

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

خطوة 17.5.9.3.2

ارفع $0.5$ إلى القوة $3$ .

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

خطوة 17.5.9.3.3

اضرب $4$ في $0.125$ .

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

خطوة 17.5.9.3.4

اضرب $3$ في $0.5$ .

$0.5 + 1.5 - 2$

خطوة 17.5.9.3.5

أضف $0.5$ و $1.5$ .

$2 - 2$

خطوة 17.5.9.3.6

اطرح $2$ من $2$ .

$0$

خطوة 17.5.9.4

بما أن $0.5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $2 x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

خطوة 17.5.9.5

اقسِم $4 x^{3} + 3 x - 2$ على $2 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.5.9.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

خطوة 17.5.9.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

خطوة 17.5.9.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

خطوة 17.5.9.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x^{3} - 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

خطوة 17.5.9.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

خطوة 17.5.9.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 17.5.9.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 17.5.9.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

خطوة 17.5.9.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{2} - x$

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

خطوة 17.5.9.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

خطوة 17.5.9.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

خطوة 17.5.9.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $4 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

خطوة 17.5.9.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

خطوة 17.5.9.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $4 x - 2$

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

خطوة 17.5.9.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

خطوة 17.5.9.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$2 x^{2} + x + 2$

خطوة 17.5.9.6

اكتب $4 x^{3} + 3 x - 2$ في صورة مجموعة من العوامل.

$\frac{x ((2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

$\frac{x (2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$