حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

خطوة 1

لنفترض أن $u = a^{4} + x^{4}$ . إذن $d u = 4 x^{3} d x$ ، لذا $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . أعِد الكتابة باستخدام $u$ و $d$ $u$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

افترض أن $u = a^{4} + x^{4}$ . أوجِد $\frac{d u}{d x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أوجِد مشتقة $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

خطوة 1.1.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $a^{4} + x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.3

بما أن $a^{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $a^{4}$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

خطوة 1.1.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

خطوة 1.1.5

أضف $0$ و $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

خطوة 1.2

عوّض بالنهاية الدنيا عن $x$ في $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

خطوة 1.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$u_{lower} = a^{4} + 0$

خطوة 1.3.2

أضف $a^{4}$ و $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

خطوة 1.4

عوّض بالنهاية العليا عن $x$ في $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

خطوة 1.5

أضف $a^{4}$ و $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

خطوة 1.6

ستُستخدم القيم التي تم إيجادها لـ $u_{lower}$ و $u_{upper}$ في حساب قيمة التكامل المحدد.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

خطوة 1.7

أعِد كتابة المسألة باستخدام $u$ و $d u$ والنهايات الجديدة للتكامل.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

خطوة 2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب $\frac{1}{\sqrt{u}}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

خطوة 2.2

انقُل $4$ إلى يسار $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

خطوة 3

بما أن $\frac{1}{4}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $u$ ، انقُل $\frac{1}{4}$ خارج التكامل.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

خطوة 4

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{u}$ في صورة $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

خطوة 4.2

انقُل $u^{\frac{1}{2}}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

خطوة 4.3

اضرب الأُسس في ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

خطوة 4.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

خطوة 4.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

خطوة 5

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $u^{- \frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $u$ هو $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

خطوة 6

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

احسِب قيمة $2 u^{\frac{1}{2}}$ في $2 a^{4}$ وفي $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 a^{4}$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $2 (a^{4})$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3

اضرب الأُسس في ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.4

ارفع $2$ إلى القوة $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.6

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.8

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.9

اضرب الأُسس في ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.9.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

خطوة 6.2.9.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.9.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.9.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

خطوة 6.2.9.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

خطوة 7.2

اضرب $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اجمع $2^{\frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

خطوة 7.2.2

اجمع $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ و $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

خطوة 7.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

خطوة 7.3.2

أخرِج العامل $2$ من $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

خطوة 7.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

خطوة 7.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

خطوة 7.4

اجمع $\frac{1}{2}$ و $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$