حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

خطوة 1

أوجِد مشتقة المتعادلين.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{3} + 3 x^{2} + 1)$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ هو $n y^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$1$

خطوة 3

أوجِد مشتقة المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{3} + 3 x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $y$ هو $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{3}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.2.2

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $y$ يساوي $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} x' + 3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ هو $f' (g (y)) g' (y)$ حيث $f (y) = y^{2}$ و $g (y) = x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.3.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.3.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.3.3

أعِد كتابة $\frac{d}{d y} [x]$ بالصيغة $x'$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.3.4

اضرب $2$ في $3$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + \frac{d}{d y} [1]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $y$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $y$ هو $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + 0$

خطوة 3.4.2

أضف $3 x^{2} x' + 6 x x'$ و $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x'$

خطوة 4

عدّل المعادلة بمساواة قيمة الطرف الأيسر بقيمة الطرف الأيمن.

$1 = 3 x^{2} x' + 6 x x'$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$

خطوة 5.2

أخرِج العامل $3 x x'$ من $3 x^{2} x' + 6 x x'$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أخرِج العامل $3 x x'$ من $3 x^{2} x'$ .

$3 x x' x + 6 x x' = 1$

خطوة 5.2.2

أخرِج العامل $3 x x'$ من $6 x x'$ .

$3 x x' x + 3 x x' \cdot 2 = 1$

خطوة 5.2.3

أخرِج العامل $3 x x'$ من $3 x x' x + 3 x x' \cdot 2$ .

$3 x x' (x + 2) = 1$

خطوة 5.3

اقسِم كل حد في $3 x x' (x + 2) = 1$ على $3 x (x + 2)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اقسِم كل حد في $3 x x' (x + 2) = 1$ على $3 x (x + 2)$ .

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

خطوة 5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

خطوة 5.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

خطوة 5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

خطوة 5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

خطوة 5.3.2.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

خطوة 5.3.2.3.2

اقسِم $x'$ على $1$ .

$x' = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

خطوة 6

استبدِل $x'$ بـ $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$