حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 \sin (x - 2 π)$

خطوة 1

أوجِد المشتق الأول للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \sin (x - 2 π)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\sin (x - 2 π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x - 2 π)]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = x - 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2 π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

خطوة 1.2.2

مشتق $\sin (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\cos (u)$ .

$2 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

خطوة 1.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2 π$ .

$2 (\cos (x - 2 π) \frac{d}{d x} [x - 2 π])$

خطوة 1.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$2 \cos (x - 2 π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π])$

خطوة 1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$2 \cos (x - 2 π) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 π])$

خطوة 1.3.3

بما أن $- 2 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \cos (x - 2 π) (1 + 0)$

خطوة 1.3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$2 \cos (x - 2 π) \cdot 1$

خطوة 1.3.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 \cos (x - 2 π)$

خطوة 2

أوجِد المشتق الثاني للدالة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 \cos (x - 2 π)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - 2 π)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\cos (x - 2 π))$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = x - 2 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 2 π$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

خطوة 2.2.2

مشتق $\cos (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

خطوة 2.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 2 π$ .

$f'' (x) = 2 (- \sin (x - 2 π) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$f'' (x) = - 2 (\sin (x - 2 π) \frac{d}{d x} (x - 2 π))$

خطوة 2.3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 2 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 π]$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2 π))$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (1 + \frac{d}{d x} (- 2 π))$

خطوة 2.3.4

بما أن $- 2 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 2 π$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) (1 + 0)$

خطوة 2.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π) \cdot 1$

خطوة 2.3.5.2

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f'' (x) = - 2 \sin (x - 2 π)$

خطوة 3

لإيجاد قيم الحد الأقصى المحلي والحد الأدنى المحلي للدالة، عيّن قيمة المشتق لتصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد الحل.

$2 \cos (x - 2 π) = 0$

خطوة 4

اقسِم كل حد في $2 \cos (x - 2 π) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x - 2 π) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x - 2 π)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x - 2 π)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 4.2.1.2

اقسِم $\cos (x - 2 π)$ على $1$ .

$\cos (x - 2 π) = \frac{0}{2}$

خطوة 4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$\cos (x - 2 π) = 0$

خطوة 5

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x - 2 π = \arccos (0)$

خطوة 6

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (0)$ هي $\frac{π}{2}$ .

$x - 2 π = \frac{π}{2}$

خطوة 7

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أضف $2 π$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{π}{2} + 2 π$

خطوة 7.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 7.3

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 7.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{π + 2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{π + 4 π}{2}$

خطوة 7.5.2

أضف $π$ و $4 π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

خطوة 8

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x - 2 π = 2 π - \frac{π}{2}$

خطوة 9

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

بسّط $2 π - \frac{π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x - 2 π = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x - 2 π = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

خطوة 9.1.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x - 2 π = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

خطوة 9.1.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.3.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x - 2 π = \frac{4 π - π}{2}$

خطوة 9.1.3.2

اطرح $π$ من $4 π$ .

$x - 2 π = \frac{3 π}{2}$

خطوة 9.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أضف $2 π$ إلى كلا المتعادلين.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π$

خطوة 9.2.2

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 9.2.3

اجمع $2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 9.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{3 π + 2 π \cdot 2}{2}$

خطوة 9.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.5.1

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{3 π + 4 π}{2}$

خطوة 9.2.5.2

أضف $3 π$ و $4 π$ .

$x = \frac{7 π}{2}$

خطوة 10

حل المعادلة $x - 2 π = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{2}, \frac{7 π}{2}$

خطوة 11

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{5 π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin ((\frac{5 π}{2}) - 2 π)$

خطوة 12

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

لكتابة $- 2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 12.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اجمع $- 2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 12.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 \sin (\frac{5 π - 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 2 \sin (\frac{5 π - 4 π}{2})$

خطوة 12.3.2

اطرح $4 π$ من $5 π$ .

$- 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 12.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 \cdot 1$

خطوة 12.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$- 2$

خطوة 13

$x = \frac{5 π}{2}$ هي حد أقصى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية سالبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{5 π}{2}$ هي حد أقصى محلي

خطوة 14

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{5 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{5 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin ((\frac{5 π}{2}) - 2 π)$

خطوة 14.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.1

لكتابة $- 2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 14.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.2.1

اجمع $- 2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 14.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π - 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 14.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.2.3.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{5 π - 4 π}{2})$

خطوة 14.2.3.2

اطرح $4 π$ من $5 π$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2})$

خطوة 14.2.4

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2 \cdot 1$

خطوة 14.2.5

اضرب $2$ في $1$ .

$f (\frac{5 π}{2}) = 2$

خطوة 14.2.6

الإجابة النهائية هي $2$ .

$y = 2$

خطوة 15

احسِب قيمة المشتق الثاني في $x = \frac{7 π}{2}$ . إذا كان المشتق الثاني موجبًا، فإنه إذن الحد الأدنى المحلي. أما إذا كان سالبًا، فإنه إذن الحد الأقصى المحلي.

$- 2 \sin ((\frac{7 π}{2}) - 2 π)$

خطوة 16

احسِب قيمة المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

لكتابة $- 2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 16.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.2.1

اجمع $- 2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 16.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- 2 \sin (\frac{7 π - 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 16.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.3.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$- 2 \sin (\frac{7 π - 4 π}{2})$

خطوة 16.3.2

اطرح $4 π$ من $7 π$ .

$- 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 16.4

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$- 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 16.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 16.6

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

خطوة 16.6.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$2$

خطوة 17

$x = \frac{7 π}{2}$ هي حد أدنى محلي لأن قيمة المشتقة الثانية موجبة. يُشار إلى ذلك باسم اختبار المشتقة الثانية.

$x = \frac{7 π}{2}$ هي حد أدنى محلي

خطوة 18

أوجِد قيمة "ص" عندما تكون $x = \frac{7 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{7 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin ((\frac{7 π}{2}) - 2 π)$

خطوة 18.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

لكتابة $- 2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π}{2} - 2 π \cdot \frac{2}{2})$

خطوة 18.2.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.2.1

اجمع $- 2 π$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π}{2} + \frac{- 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 18.2.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π - 2 π \cdot 2}{2})$

خطوة 18.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.3.1

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{7 π - 4 π}{2})$

خطوة 18.2.3.2

اطرح $4 π$ من $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

خطوة 18.2.4

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

خطوة 18.2.5

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{2})$ هي $1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 18.2.6

اضرب $2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.6.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = 2 \cdot - 1$

خطوة 18.2.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{2}) = - 2$

خطوة 18.2.7

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$y = - 2$

خطوة 19

هذه هي القيم القصوى المحلية لـ $f (x) = 2 \sin (x - 2 π)$ .

$(\frac{5 π}{2}, 2)$ هي نقطة قصوى محلية

$(\frac{7 π}{2}, - 2)$ هي نقاط دنيا محلية

خطوة 20