حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

خطوة 1

أوجِد الحل بالتعويض لإيجاد التقاطع بين المنحنيين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

خطوة 1.2

أوجِد قيمة $x$ في $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

اقسِم كل حد في $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ على $\sec^{2} (x)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

اقسِم كل حد في $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ على $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 1.2.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec^{2} (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 1.2.1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

خطوة 1.2.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.1

أخرِج العامل $\sec (x)$ من $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

خطوة 1.2.1.3.2

افصِل الكسور.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

خطوة 1.2.1.3.3

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

خطوة 1.2.1.3.4

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

خطوة 1.2.1.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.5.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

خطوة 1.2.1.3.5.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 1.2.1.3.5.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

خطوة 1.2.1.3.5.4

أضف $1$ و $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

خطوة 1.2.1.3.6

افصِل الكسور.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

خطوة 1.2.1.3.7

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

خطوة 1.2.1.3.8

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

خطوة 1.2.1.3.9

اضرب $\cos (x)$ في $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

خطوة 1.2.1.3.10

اضرب $\cos (x)$ في $\cos^{2} (x)$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.10.1

انقُل $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

خطوة 1.2.1.3.10.2

اضرب $\cos^{2} (x)$ في $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.3.10.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

خطوة 1.2.1.3.10.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

خطوة 1.2.1.3.10.3

أضف $2$ و $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

خطوة 1.2.1.3.11

اقسِم $8$ على $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

خطوة 1.2.2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

خطوة 1.2.3

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

خطوة 1.2.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

أعِد كتابة $8 \cos^{3} (x)$ بالصيغة ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

خطوة 1.2.4.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

خطوة 1.2.4.3

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = 2 \cos (x)$ و $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 1.2.4.4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 1.2.4.4.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

خطوة 1.2.4.4.3

اضرب $2$ في $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

خطوة 1.2.4.4.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 1.2.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

خطوة 1.2.6

عيّن قيمة العبارة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.1

عيّن قيمة $2 \cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 1.2.6.2

أوجِد قيمة $\cos (x)$ في $2 \cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$2 \cos (x) = 1$

خطوة 1.2.6.2.2

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 \cos (x) = 1$ على $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.6.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.6.2.2.2.1.2

اقسِم $\cos (x)$ على $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

خطوة 1.2.7

عيّن قيمة العبارة $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.1

عيّن قيمة $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 1.2.7.2

أوجِد قيمة $\cos (x)$ في $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

خطوة 1.2.7.2.2

عوّض بقيم $a = 4$ و $b = 2$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

خطوة 1.2.7.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.2.2

اضرب $- 16$ في $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.3.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.3.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 1.2.7.2.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.2.2

اضرب $- 16$ في $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.4.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 1.2.7.2.4.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.4.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 1.2.7.2.4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 1.2.7.2.4.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.2.2

اضرب $- 16$ في $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.3

اطرح $16$ من $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.4

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (12)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.7

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.7.2.5.1.7.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.7.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.7.2.5.2

اضرب $2$ في $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

خطوة 1.2.7.2.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5.5

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

خطوة 1.2.7.2.5.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.7.2.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ صحيحة.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

خطوة 1.2.9

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

خطوة 1.2.10

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

خطوة 1.2.10.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{1}{2})$ هي $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.10.3

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.10.4

بسّط $2 π - \frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.4.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.10.4.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.4.2.1

اجمع $2 π$ و $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

خطوة 1.2.10.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

خطوة 1.2.10.4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.4.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

خطوة 1.2.10.4.3.2

اطرح $π$ من $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

خطوة 1.2.10.5

أوجِد فترة $\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.10.5.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 1.2.10.5.2

استبدِل $b$ بـ $1$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 1.2.10.5.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $1$ تساوي $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 1.2.10.5.4

اقسِم $2 π$ على $1$ .

$2 π$

خطوة 1.2.10.6

فترة دالة $\cos (x)$ هي $2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.2.11

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.11.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

خطوة 1.2.11.2

دالة جيب التمام العكسية لـ $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ غير معرّفة.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

خطوة 1.2.12

أوجِد قيمة $x$ في $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.12.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

خطوة 1.2.12.2

دالة جيب التمام العكسية لـ $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ غير معرّفة.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

خطوة 1.2.13

اسرِد جميع الحلول.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 1.3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.3.2

احذِف الأقواس.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.4.2

احذِف الأقواس.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

خطوة 1.5

اسرِد جميع الحلول.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

خطوة 2

تُعرَّف مساحة المنطقة المحصورة بين منحنيين بأنها تكامل المنحنى العلوي مطروحًا منه تكامل المنحنى السفلي على كل منطقة. وتُحدد المناطق بنقاط تقاطع المنحنيات. ويمكن القيام بذلك جبريًا أو بيانيًا.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3

أوجِد التكامل لإيجاد المساحة بين $- \frac{π}{3}$ و $\frac{π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع التكاملات في تكامل واحد.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

خطوة 3.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $\sec (x)$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

خطوة 3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

خطوة 3.3.2

أعِد كتابة $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ بالصيغة ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

خطوة 3.3.3

حوّل من $\frac{1}{\cos (x)}$ إلى $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3.4

قسّم التكامل الواحد إلى عدة تكاملات.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3.5

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $8$ خارج التكامل.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3.6

تكامل $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3.7

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، انقُل $- 1$ خارج التكامل.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

خطوة 3.8

بما أن مشتق $\tan (x)$ هو $\sec^{2} (x)$ ، إذن تكامل $\sec^{2} (x)$ هو $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 3.9

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1.1

احسِب قيمة $\sin (x)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

خطوة 3.9.1.2

احسِب قيمة $\tan (x)$ في $\frac{π}{3}$ وفي $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.2.2

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.2

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن الجيب سالب في الربع الرابع.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.3

القيمة الدقيقة لـ $\sin (\frac{π}{3})$ هي $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.4

اضرب $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.4.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2}$ في $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.6

أضف $\sqrt{3}$ و $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.7.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.7.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.7.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.8

اضرب $2$ في $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.9

أضِف الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

خطوة 3.9.3.10

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن المماس سالب في الربع الرابع.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

خطوة 3.9.3.11

القيمة الدقيقة لـ $\tan (\frac{π}{3})$ هي $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

خطوة 3.9.3.12

اضرب $- - \sqrt{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.12.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

خطوة 3.9.3.12.2

اضرب $\sqrt{3}$ في $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

خطوة 3.9.3.13

أضف $\sqrt{3}$ و $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

خطوة 3.9.3.14

اضرب $2$ في $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

خطوة 3.9.3.15

اطرح $2 \sqrt{3}$ من $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

خطوة 4

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$6 \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$10.39230484 \dots$

خطوة 5